Amplitude e medidas de dispersão

Por que o centro não basta

Considere os conjuntos:

• A = 4, 5, 5, 5, 6;
• B = 1, 3, 5, 7, 9.

Ambos têm média e mediana iguais a 5. Entretanto, os valores de A estão próximos de 5, enquanto os de B se afastam muito mais. Para descrever essa diferença, precisamos combinar as medidas de tendência central com medidas de dispersão.

Amplitude total

A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor:

$$A=x_{\max}-x_{\min}.$$

Nos conjuntos anteriores:

$$A_A=6-4=2$$

e

$$A_B=9-1=8.$$

A amplitude permite uma comparação rápida, mas utiliza somente dois dados. Se A fosse 4,4,4,6,6 ou 4,5,5,5,6, sua amplitude continuaria igual a 2, embora a distribuição interna fosse diferente.

Efeito de um valor extremo

No conjunto 5,6,6,7,8, a amplitude é 3. Substituindo o último valor por 28, ela passa a 23. Um único valor extremo pode alterar fortemente essa medida; por isso, amplitude não deve ser interpretada sozinha.

Desvios em relação à média

O desvio de cada observação x_i em relação à média \bar{x} é:

$$d_i=x_i-\bar{x}.$$

Para B = 1,3,5,7,9, cuja média é 5, os desvios são -4,-2,0,2,4. O sinal indica o lado do centro: valores abaixo da média geram desvios negativos; valores acima, positivos.

A soma desses desvios é sempre zero, salvo pequenas diferenças de arredondamento:

$$\sum(x_i-\bar{x})=0.$$

Isso ocorre porque a média funciona como ponto de equilíbrio. Portanto, não podemos simplesmente fazer a média dos desvios com sinal para medir o espalhamento: os valores positivos e negativos se anulam.

Por que elevar os desvios ao quadrado

Elevar cada desvio ao quadrado resolve o cancelamento e atribui maior peso a afastamentos grandes. No conjunto B, obtemos 16,4,0,4,16, cuja soma é 40.

Esse procedimento conduz à variância. Depois, a raiz quadrada conduz ao desvio padrão.

Variância populacional

Quando os valores disponíveis formam toda a população estudada, a variância populacional é:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N},$$

em que N é o número de elementos e μ é a média populacional.

Para B = 1,3,5,7,9:

$$\sigma^2=\frac{16+4+0+4+16}{5}=\frac{40}{5}=8.$$

A unidade da variância fica elevada ao quadrado. Se os dados estão em centímetros, a variância está em centímetros quadrados. Isso é útil matematicamente, mas menos intuitivo para interpretar o problema.

Desvio padrão populacional

O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}}.$$

No conjunto B:

$$\sigma=\sqrt{8}\approx2{,}83.$$

O desvio padrão volta à unidade original dos dados. Ele não é, em geral, a média simples das distâncias até a média; é a raiz da média dos quadrados dos desvios.

O que significa desvio padrão zero

Se todos os valores forem iguais, todos os desvios serão zero. Logo, variância e desvio padrão serão zero. A recíproca também vale: desvio padrão zero significa ausência de variação no conjunto.

Comparando os dois conjuntos

Para A = 4,5,5,5,6, a média é 5 e a soma dos desvios quadráticos é 2:

$$\sigma_A^2=\frac{2}{5}=0{,}4$$

e

$$\sigma_A=\sqrt{0{,}4}\approx0{,}63.$$

Para B, encontramos variância 8 e desvio padrão aproximadamente 2,83. Assim, B é mais disperso, embora os dois conjuntos tenham a mesma média e mediana.

Conjunto	Média	Amplitude	Variância populacional	Desvio padrão populacional
A	5	2	0,4	≈ 0,63
B	5	8	8	≈ 2,83

População ou amostra?

A fórmula depende do papel dos dados no problema.

• População: contém todos os elementos de interesse; divide-se por N.
• Amostra: contém parte dos elementos e é usada para estimar a variabilidade da população; divide-se por n-1 na variância amostral.

Se uma questão fornece as notas de todos os alunos de uma turma e pergunta a dispersão daquela turma, tratamos o conjunto como população. Se seleciona alguns alunos para estimar o comportamento de toda a escola, trata-se de amostra.

Variância e desvio padrão amostrais

Para uma amostra com n elementos e média amostral \bar{x}:

$$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$$

e

$$s=\sqrt{s^2}.$$

O divisor n-1 corrige a tendência de subestimar a variabilidade da população quando usamos a própria amostra para estimar sua média. Em prova, procure palavras como “amostra”, “estimativa” e “população”. Se a fórmula for fornecida, siga a convenção apresentada pelo enunciado.

Cálculo por tabela de frequências

Considere os valores 2, 4 e 6, com frequências 1, 2 e 1. Primeiro, calcule a média usando as frequências:

$$\mu=\frac{2\cdot1+4\cdot2+6\cdot1}{4}=4.$$

Depois, multiplique cada desvio quadrático pela respectiva frequência:

x	f	x-μ	(x-μ)²	f(x-μ)²
2	1	-2	4	4
4	2	0	0	0
6	1	2	4	4
Total	4			8

Como os quatro dados representam a população considerada:

$$\sigma^2=\frac{8}{4}=2$$

e

$$\sigma=\sqrt{2}\approx1{,}41.$$

Revise Leitura de tabelas se precisar retomar frequência absoluta e soma ponderada.

Transformações nos dados

Somar a mesma constante c a todos os valores desloca o conjunto, mas não altera as distâncias entre eles. Portanto, amplitude, variância e desvio padrão permanecem iguais.

Multiplicar todos os valores por uma constante k produz:

• amplitude multiplicada por |k|;
• variância multiplicada por k²;
• desvio padrão multiplicado por |k|.

Se todas as medidas em metros forem convertidas para centímetros, multiplicamos os dados por 100; o desvio padrão também é multiplicado por 100, enquanto a variância é multiplicada por 10.000.

Como interpretar no contexto

Um desvio padrão menor indica maior concentração em torno da média; um maior indica maior espalhamento. Mas a conclusão precisa nomear a variável e o grupo.

• Em notas de uma turma, menor dispersão sugere desempenho mais homogêneo.
• Em tempo de entrega, maior dispersão sugere menor previsibilidade.
• Em medidas industriais, menor dispersão pode indicar maior regularidade do processo.

“Menor” não significa automaticamente “melhor”. Se todos os alunos tirarem notas igualmente baixas, a dispersão será pequena, mas o desempenho não será alto. Centro e dispersão respondem a perguntas diferentes.

Também é preciso cautela ao comparar desvios padrão de variáveis com unidades ou escalas muito diferentes. Uma diferença de 5 kg não pode ser comparada diretamente a 5 cm como se representasse a mesma variação relativa.

Um roteiro para resolver questões

1. Identifique a variável e verifique se os dados são população ou amostra.
2. Ordene os valores se precisar dos extremos e calcule a amplitude.
3. Calcule a média correta, considerando frequências ou pesos.
4. Encontre cada desvio em relação à média.
5. Eleve os desvios ao quadrado e some os resultados.
6. Divida por N ou n-1, conforme o contexto.
7. Extraia a raiz se a pergunta pedir desvio padrão.
8. Interprete o resultado na unidade e na situação do enunciado.

Uma tabela de apoio reduz erros aritméticos. Ao final, confira se a variância é não negativa e se o desvio padrão está na unidade original.

Como aparece em provas

As questões costumam pedir:

• comparação da regularidade de dois grupos;
• efeito da inclusão ou retirada de um valor extremo;
• cálculo a partir de lista ou tabela de frequências;
• escolha entre população e amostra;
• transformação da variância ou do desvio padrão após mudar a escala;
• interpretação conjunta de média e dispersão.

Algumas provas fornecem a fórmula. Ainda assim, é necessário identificar corretamente os valores, o denominador e o significado do resultado.

Erros frequentes

• confundir amplitude com maior valor;
• usar somente a amplitude para descrever toda a distribuição;
• somar os desvios com sinal e concluir que não há dispersão;
• esquecer de elevar cada desvio ao quadrado;
• extrair a raiz antes de obter a variância;
• misturar divisor N com n-1;
• ignorar frequências na média e nos desvios quadráticos;
• apresentar variância na unidade original, em vez da unidade ao quadrado;
• dizer que desvio padrão é a média simples das distâncias;
• concluir que menor dispersão sempre significa resultado melhor.

Síntese para revisão

Medida	Fórmula populacional	O que observa	Unidade
amplitude	x_max-x_min	distância entre extremos	mesma dos dados
variância	Σ(x-μ)²/N	média dos desvios quadráticos	unidade ao quadrado
desvio padrão	√variância	espalhamento em torno da média	mesma dos dados

Use amplitude para uma leitura rápida e variância ou desvio padrão para incorporar todos os valores. Sempre acompanhe a medida de dispersão de uma referência de centro e de uma interpretação contextual.

Próximos passos

• Retome Média, mediana e moda para escolher uma medida de centro adequada.
• Aprofunde a leitura visual em Interpretação de gráficos.
• Pratique a organização de frequências em Leitura de tabelas.
• Continue a trilha em Princípio fundamental da contagem para modelar escolhas sucessivas e contar possibilidades.

Referências

• Base Nacional Comum Curricular — Ministério da Educação.
• OpenStax Introductory Statistics 2e — Measures of the Spread of the Data.
• OpenStax Contemporary Mathematics — Range and Standard Deviation.
• OpenStax Principles of Data Science — Measures of Variation.