Princípio fundamental da contagem

O que é o princípio fundamental da contagem

Suponha que uma tarefa tenha duas etapas. Se a primeira pode ser realizada de m maneiras e, para cada escolha da primeira, a segunda pode ser realizada de n maneiras, então existem:

$$m\cdot n$$

resultados possíveis.

Esse é o princípio multiplicativo, também chamado de princípio fundamental da contagem. Para k etapas com n_1,n_2,\ldots,n_k opções, respectivamente:

$$N=n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k.$$

O princípio não exige que as escolhas sejam aleatórias nem “independentes” no sentido probabilístico. Ele exige que a quantidade de opções válidas em cada etapa seja contada para cada situação anterior. Quando essa quantidade muda entre os ramos, contamos os ramos separadamente e depois os somamos.

Um primeiro exemplo

Uma pessoa possui 3 camisetas e 2 calças. Para formar um conjunto, escolhe uma camiseta e uma calça:

$$3\cdot2=6.$$

Cada uma das três camisetas pode acompanhar qualquer uma das duas calças. A multiplicação evita listar os seis pares individualmente.

Em uma árvore, cada caminho completo da raiz até uma folha corresponde a um resultado. Se há 2 opções na primeira etapa e 3 na segunda, surgem 2·3=6 folhas.

Princípio aditivo

Quando um resultado pode vir de um caso ou de outro, e os casos não possuem resultados em comum, somamos as quantidades.

Se uma biblioteca oferece 5 romances e 3 biografias e o leitor escolherá exatamente um livro de uma dessas categorias, há:

$$5+3=8$$

escolhas.

Os casos precisam ser disjuntos. Se um mesmo resultado for contado em duas categorias, a soma direta produz dupla contagem. Nesse caso, é necessário separar melhor os casos ou corrigir a interseção.

Somar ou multiplicar?

As palavras “e” e “ou” ajudam, mas não substituem a interpretação.

• Etapas sucessivas: escolher uma opção da etapa 1 e depois uma da etapa 2 → multiplicar.
• Casos alternativos: o resultado está no caso A ou no caso B, sem pertencer aos dois → somar.
• Vários caminhos: multiplicar dentro de cada caminho e somar os totais dos caminhos alternativos.

Por exemplo, uma viagem pode seguir pela rota A, com 3 opções de ônibus e 4 de trem, ou pela rota B, com 2 opções de ônibus e 5 de trem. Admitindo que as rotas gerem itinerários distintos:

$$3\cdot4+2\cdot5=12+10=22.$$

Multiplicamos as etapas de cada rota e somamos as rotas alternativas.

Como modelar um problema

Antes de calcular, responda:

1. O que caracteriza um resultado completo?
2. Quais etapas formam esse resultado?
3. Quantas opções são válidas em cada etapa?
4. Uma escolha elimina ou cria opções nas etapas seguintes?
5. Existem casos alternativos que precisam ser separados?
6. Resultados aparentemente diferentes são realmente distintos?

Depois, represente cada etapa por uma posição, uma coluna de tabela ou um nível da árvore. Só então multiplique ou some.

Repetição permitida

Um identificador possui duas letras seguidas de três algarismos. Admitindo o alfabeto com 26 letras, os algarismos de 0 a 9 e repetição permitida:

Posição	1ª letra	2ª letra	1º algarismo	2º algarismo	3º algarismo
Opções	26	26	10	10	10

Logo:

$$26\cdot26\cdot10\cdot10\cdot10=676.000.$$

“Repetição permitida” significa que escolher uma letra ou algarismo não reduz as opções das posições seguintes.

Repetição proibida

Quantos números de três algarismos distintos existem?

• centena: 9 opções, de 1 a 9, pois zero à esquerda não forma número de três algarismos;
• dezena: 9 opções, pois zero passa a ser permitido, mas o algarismo da centena não pode repetir;
• unidade: 8 opções, pois dois algarismos já foram usados.

Portanto:

$$9\cdot9\cdot8=648.$$

O erro mais comum é usar 10·9·8. Isso contaria sequências iniciadas por zero, que são códigos de três posições, mas não números de três algarismos.

Código não é necessariamente número

Em um código, zeros à esquerda normalmente são aceitos. Assim, códigos de três algarismos com repetição permitida totalizam:

$$10^3=1.000.$$

Já números naturais de três algarismos totalizam 9·10·10=900. A estrutura visual pode ser a mesma, mas a regra da primeira posição muda conforme o objeto contado.

Escolhas dependentes

Se uma eleição escolhe presidente e vice entre 8 pessoas, sem acumular cargos, há 8 opções para presidente e, após essa escolha, 7 para vice:

$$8\cdot7=56.$$

As quantidades são dependentes da escolha anterior, mas o princípio multiplicativo continua válido porque atualizamos o número de opções disponíveis.

Se uma pessoa específica só pode ocupar a vice-presidência, o número de opções pode variar entre os ramos. Uma solução segura é separar casos:

• essa pessoa é vice: 7 escolhas para presidente;
• essa pessoa não participa: presidente e vice são escolhidos, em ordem, entre as outras 7 pessoas: 7·6=42.

Total:

$$7+42=49.$$

Diagrama de árvore e tabela

Uma árvore é especialmente útil quando:

• há poucas etapas e opções;
• as opções mudam de um ramo para outro;
• precisamos visualizar restrições;
• queremos conferir se casos foram omitidos ou repetidos.

Uma tabela funciona bem para duas variáveis: linhas representam as opções da primeira e colunas, as da segunda. Cada célula é um par possível. Quando todas as combinações são válidas, o número de células confirma o produto entre linhas e colunas.

Essas representações não substituem o princípio: elas tornam visível por que multiplicamos e ajudam a validar a modelagem.

Contagem pelo complemento

Expressões como “pelo menos um” podem exigir muitos casos. Frequentemente é mais simples contar o total e retirar o complemento.

Quantos códigos de quatro algarismos, com repetição permitida, possuem pelo menos um zero?

1. Total de códigos: 10⁴=10.000.
2. Códigos sem nenhum zero: cada posição tem 9 opções, então 9⁴=6.561.
3. Códigos com pelo menos um zero:

$$10^4-9^4=10.000-6.561=3.439.$$

O complemento de “pelo menos um zero” é “nenhum zero”, não “exatamente um zero”. Essa tradução lógica é decisiva.

Quando o produto simples não funciona

Não use um único produto se o número de opções muda entre ramos e você não consegue representá-lo por uma quantidade comum em cada etapa.

Imagine um sistema com dois tipos de cadastro:

• pessoa física: 3 formas de identificação e 2 canais de confirmação → 3·2=6;
• pessoa jurídica: 2 formas de identificação e 4 canais → 2·4=8.

Como os tipos são alternativos e os cadastros são distintos:

$$6+8=14.$$

Escrever 2·(3+2)·(2+4) misturaria etapas que não existem e contaria resultados indevidos.

Resultados distinguíveis

Antes de contar, defina quando dois resultados são diferentes.

• Em uma senha, AB12 e BA12 são diferentes porque a ordem muda.
• Em uma comissão sem cargos, escolher Ana e Beto é o mesmo grupo que escolher Beto e Ana.
• Em um pódio, Ana em primeiro e Beto em segundo difere da ordem inversa.

O princípio multiplicativo conta sequências de escolhas. Quando diferentes sequências representam o mesmo resultado, será necessário corrigir repetições. Esse é um dos problemas aprofundados em Análise combinatória, o próximo conteúdo da trilha.

Como aparece em provas

O tema costuma aparecer em:

• formação de senhas, placas, códigos e identificadores;
• escolha de trajetos e meios de transporte;
• montagem de cardápios, uniformes ou configurações;
• distribuição de cargos e posições;
• números com algarismos sujeitos a restrições;
• contagem de casos com “pelo menos um”, “nenhum” ou “exatamente um”;
• determinação do tamanho de um espaço de possibilidades.

Muitas questões não nomeiam o princípio. Elas apresentam decisões encadeadas e esperam que o estudante reconheça a estrutura multiplicativa.

Erros frequentes

• somar quantidades de etapas que precisam ocorrer juntas;
• multiplicar casos que são apenas alternativas;
• permitir zero na primeira posição de um número;
• ignorar se a repetição é permitida;
• manter a mesma quantidade de opções depois de proibir repetição;
• contar duas vezes resultados pertencentes a casos sobrepostos;
• confundir “pelo menos um” com “exatamente um”;
• tratar códigos e números como objetos idênticos;
• contar ordens diferentes quando o resultado final não distingue ordem;
• aplicar uma fórmula antes de definir o que constitui um resultado.

Síntese para revisão

Estrutura	Operação	Pergunta de controle
etapas sucessivas	multiplicar	preciso escolher uma opção de cada etapa?
casos alternativos disjuntos	somar	o resultado vem de apenas um dos casos?
vários caminhos	multiplicar dentro e somar entre caminhos	quais etapas pertencem a cada alternativa?
pelo menos um	considerar complemento	é mais fácil contar o total menos “nenhum”?
opções com restrição	atualizar cada etapa	o que deixou de ser permitido após a escolha?

O método mais seguro é: definir o resultado, separar etapas e casos, contar apenas opções válidas, executar as operações e conferir em uma árvore ou exemplo pequeno.

Próximos passos

• Revise Números e operações para organizar produtos e potências.
• Use Expressões numéricas para calcular corretamente somas de produtos.
• Continue em Análise combinatória para aprofundar agrupamentos, ordem e fórmulas.

Referências

• Base Nacional Comum Curricular — Ministério da Educação.
• OpenStax Contemporary Mathematics — The Multiplication Rule for Counting.
• OpenStax Algebra and Trigonometry — Counting Principles.