Teorema de Pitágoras: fórmula e exemplos

Triângulo retângulo com quadrados construídos sobre os três lados

O Teorema de Pitágoras relaciona os três lados de qualquer triângulo retângulo. Ele permite calcular uma medida desconhecida quando as outras duas são conhecidas e sustenta aplicações como diagonais, distâncias e verificação de ângulos retos.

Ideia central: no triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

Catetos e hipotenusa

Um triângulo retângulo possui um ângulo de $90^\circ$ .

Os dois lados que formam o ângulo reto são os catetos.
O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa.
A hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo.

O ângulo reto identifica os dois catetos e a hipotenusa oposta

Usando $a$ e $b$ para os catetos e $c$ para a hipotenusa:

$\boxed{a^2+b^2=c^2}.$

A letra escolhida não é o essencial. Se a hipotenusa for chamada $h$ , por exemplo, a relação será

$\text{cateto}_1^2+\text{cateto}_2^2=h^2.$

Antes de substituir números, identifique o lado oposto ao ângulo de $90^\circ$ .

Por que a relação envolve áreas

Considere um quadrado de lado $a+b$ formado por quatro triângulos retângulos congruentes e um quadrado central de lado $c$ .

A área total pode ser escrita como

$A=(a+b)^2.$

Na decomposição interna, temos quatro triângulos de área $ab/2$ e o quadrado central de área $c^2$ :

$A=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2=2ab+c^2.$

Igualando as expressões:

$(a+b)^2=2ab+c^2.$

Desenvolvendo o primeiro membro:

$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2.$

Cancelando $2ab$ :

$a^2+b^2=c^2.$

Reorganização de quatro triângulos demonstra a igualdade entre as áreas dos quadrados

Essa demonstração mostra por que os expoentes são 2: cada termo representa a área de um quadrado construído sobre um lado.

Encontrando a hipotenusa

Se os catetos medem 6 cm e 8 cm:

$c^2=6^2+8^2$

$c^2=36+64=100.$

Como comprimento é positivo,

$c=\sqrt{100}=10\text{ cm}.$

O resultado deve ser maior que cada cateto. Se a suposta hipotenusa encontrada fosse menor que 8 cm, haveria erro de identificação ou cálculo.

Encontrando um cateto

Se a hipotenusa mede 13 m e um cateto mede 5 m, seja $x$ o outro cateto:

$x^2+5^2=13^2.$

$x^2=169-25=144.$

$x=\sqrt{144}=12\text{ m}.$

Ao procurar um cateto, isolamos seu quadrado por subtração:

$a=\sqrt{c^2-b^2}.$

Não use $\sqrt{c^2+b^2}$ para um cateto, pois isso produziria um valor maior que a própria hipotenusa.

Resultado exato e aproximação

Nem toda raiz é inteira. Com catetos 5 cm e 7 cm:

$c=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{74}\text{ cm}.$

Esse é o valor exato. Uma aproximação decimal é

$c\approx8{,}60\text{ cm}.$

Mantenha a raiz durante os cálculos e arredonde apenas quando o enunciado pedir ou quando a situação prática exigir.

Para revisar simplificação de raízes, consulte Potenciação e radiciação.

Ternos pitagóricos

Um terno pitagórico é formado por três números inteiros positivos que satisfazem

$a^2+b^2=c^2.$

Exemplos:

Catetos	Hipotenusa	Verificação
3 e 4	5	$9+16=25$
5 e 12	13	$25+144=169$
8 e 15	17	$64+225=289$
7 e 24	25	$49+576=625$

Multiplicar todos os termos pelo mesmo número produz outro terno. Assim, de $(3,4,5)$ obtemos $(6,8,10)$ e $(9,12,15)$ .

Reconhecer esses padrões agiliza questões, mas não substitui a identificação correta da hipotenusa.

A recíproca do teorema

O teorema afirma uma propriedade de triângulos retângulos. Sua recíproca também é verdadeira:

Se o quadrado do maior lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois, então o triângulo é retângulo.

Para lados 9, 12 e 15, o maior é 15:

$9^2+12^2=81+144=225$

$15^2=225.$

Logo, o triângulo é retângulo.

Classificando pelo maior lado

Considere lados $a$ , $b$ e $c$ , com $c$ sendo o maior:

se $a^2+b^2=c^2$ , o triângulo é retângulo;
se $a^2+b^2>c^2$ , o triângulo é acutângulo;
se $a^2+b^2<c^2$ , o triângulo é obtusângulo.

A comparação entre a soma dos quadrados e o quadrado do maior lado classifica o triângulo

Antes dessa comparação, confirme que as três medidas formam um triângulo. O maior lado deve ser menor que a soma dos outros dois.

Exemplo: lados 4, 5 e 6 formam um triângulo e

$4^2+5^2=41>36=6^2.$

Portanto, ele é acutângulo.

Diagonal de um retângulo

A diagonal divide o retângulo em dois triângulos retângulos. Para lados $l$ e $h$ :

$d=\sqrt{l^2+h^2}.$

Uma tela retangular mede 48 cm por 36 cm. Sua diagonal é

$d=\sqrt{48^2+36^2}$

$d=\sqrt{2304+1296}=\sqrt{3600}=60\text{ cm}.$

Não some os lados para encontrar a diagonal. A soma $48+36$ descreve um percurso quebrado, não a distância direta entre vértices opostos.

Diagonal de um quadrado

Se o quadrado tem lado $l$ :

$d^2=l^2+l^2=2l^2$

$d=l\sqrt2.$

Para lado 10 cm,

$d=10\sqrt2\text{ cm}\approx14{,}14\text{ cm}.$

Distância entre dois pontos

No plano cartesiano, os deslocamentos horizontal e vertical entre

$A(x_1,y_1)\quad\text{e}\quad B(x_2,y_2)$

funcionam como catetos:

$\Delta x=x_2-x_1,\qquad \Delta y=y_2-y_1.$

Pelo Teorema de Pitágoras,

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$

Entre $A(-2,1)$ e $B(4,9)$ :

$\Delta x=4-(-2)=6$

$\Delta y=9-1=8.$

Logo,

$d=\sqrt{6^2+8^2}=10.$

Diagonais, deslocamentos no plano e altura formam triângulos retângulos em diferentes aplicações

A aplicação em coordenadas é aprofundada em Geometria analítica, com distância, ponto médio e equações no plano.

Aplicação com escada

Uma escada de 10 m está apoiada em uma parede. A base está a 6 m da parede. Qual altura ela alcança?

A parede e o chão formam o ângulo reto. A escada é a hipotenusa:

$h^2+6^2=10^2.$

$h^2=100-36=64.$

$h=8\text{ m}.$

O comprimento da escada não é um cateto porque está oposto ao ângulo entre parede e chão.

Aplicação com caminho mais curto

Uma pessoa anda 9 km para leste e depois 12 km para norte. A distância em linha reta entre início e fim é

$d=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15\text{ km}.$

Os 21 km representam o caminho percorrido nos dois trechos. Os 15 km representam o deslocamento direto.

Quando o teorema não se aplica diretamente

O Teorema de Pitágoras exige um triângulo retângulo. Se não houver ângulo de $90^\circ$ nem informação que o garanta, não aplique automaticamente $a^2+b^2=c^2$ .

Em triângulos oblíquos, outras relações podem ser necessárias. Também não use o teorema para determinar ângulos sem dados adicionais.

Como o tema aparece em provas

As questões costumam envolver:

cálculo de hipotenusa ou cateto;
diagonais de quadrados, retângulos e malhas;
escadas, rampas, cabos e alturas;
deslocamentos perpendiculares e caminhos mínimos;
distância entre pontos no plano;
verificação de triângulo retângulo;
expressões algébricas nos lados;
comparação entre áreas de quadrados construídos nos lados.

O desenho pode estar girado. Localize o marcador de $90^\circ$ em vez de depender da posição visual.

Exemplo algébrico

Os catetos de um triângulo retângulo medem $x$ e $x+7$ , e a hipotenusa mede 17. Então

$x^2+(x+7)^2=17^2.$

$x^2+x^2+14x+49=289.$

$2x^2+14x-240=0.$

Dividindo por 2:

$x^2+7x-120=0.$

Fatorando:

$(x+15)(x-8)=0.$

As soluções algébricas são $x=-15$ e $x=8$ . Como comprimento deve ser positivo,

$x=8.$

Os lados são 8, 15 e 17.

Erros frequentes

Aplicar o teorema a um triângulo que não é retângulo.
Chamar de hipotenusa o lado que parece inclinado.
Não colocar a hipotenusa isolada em $c^2$ .
Somar os lados em vez de somar seus quadrados.
Escrever $a+b=c$ ou $(a+b)^2=c^2$ .
Somar os quadrados ao procurar um cateto, quando é preciso subtrair.
Esquecer a raiz quadrada ao passar de $c^2$ para $c$ .
Aceitar a raiz negativa como comprimento.
Arredondar uma raiz antes do fim do cálculo.
Usar a fórmula da distância sem cuidar dos sinais nas coordenadas.

Roteiro de resolução

Confirme a existência de um ângulo reto.
Identifique a hipotenusa como o lado oposto a ele.
Nomeie os catetos e escreva $a^2+b^2=c^2$ .
Substitua os valores apenas depois da identificação.
Isole o quadrado da incógnita.
Extraia a raiz positiva.
Verifique se a hipotenusa é o maior lado e se o resultado é plausível.
Registre unidade e arredondamento solicitados.

Síntese para revisão

O teorema vale para triângulos retângulos.
Catetos formam o ângulo reto; hipotenusa fica oposta a ele.
A relação é $a^2+b^2=c^2$ .
Para a hipotenusa, somamos quadrados; para um cateto, subtraímos.
A raiz positiva fornece o comprimento.
Ternos pitagóricos satisfazem a relação com números inteiros.
A recíproca permite verificar se um triângulo é retângulo.
Diagonais e distância cartesiana são aplicações diretas.

Próximos passos

Continue em Escalas para estudar mapas, plantas e representações proporcionais. Depois, Circunferência e círculo desenvolverá comprimentos e áreas circulares.