Circunferência e círculo: fórmulas

Uma linha circular, um disco preenchido e um setor destacam fronteira, região e parte do círculo

Circunferência e círculo não representam exatamente o mesmo objeto. A circunferência é a linha curva fechada cujos pontos estão à mesma distância de um centro; o círculo é a região formada por essa linha e por todos os seus pontos internos.

Ideia central: comprimento mede a fronteira da circunferência e usa unidade linear; área mede a superfície do círculo e usa unidade quadrada. Identificar qual grandeza o problema pede vem antes da fórmula.

Circunferência e círculo

Dado um ponto $O$ e uma distância positiva $r$ :

a circunferência é o conjunto dos pontos do plano cuja distância até $O$ é exatamente $r$ ;
o círculo reúne os pontos cuja distância até $O$ é menor ou igual a $r$ .

Em linguagem de distância:

$\text{circunferência: }OP=r$

$\text{círculo: }OP\le r.$

Essa definição apresenta a circunferência como lugar geométrico. Para revisar esse conceito, consulte Fundamentos da geometria plana.

No uso cotidiano, “círculo” muitas vezes nomeia também a borda. Em matemática, distinguir linha e região evita confundir comprimento com área.

Centro, raio e diâmetro

Centro: ponto fixo equidistante de todos os pontos da circunferência.
Raio: segmento que liga o centro a um ponto da circunferência; seu comprimento é indicado por $r$ .
Diâmetro: corda que passa pelo centro e liga dois pontos da circunferência; seu comprimento é indicado por $d$ .

Todo diâmetro é formado por dois raios alinhados:

$\boxed{d=2r}$

$\boxed{r=\frac d2}.$

O diâmetro é a maior corda possível de uma circunferência.

Corda, arco, secante e tangente

Corda: segmento com as duas extremidades na circunferência.
Arco: parte da circunferência entre dois de seus pontos.
Secante: reta que encontra a circunferência em dois pontos.
Tangente: reta que encontra a circunferência em um único ponto, chamado ponto de tangência.

Centro, raio, diâmetro, corda, arco, secante e tangente aparecem em uma mesma circunferência

O raio traçado até o ponto de tangência é perpendicular à tangente. Assim, forma-se um ângulo de $90^\circ$ nesse ponto.

Não conclua que toda reta que “parece encostar” é tangente: a condição geométrica é ter apenas um ponto comum com a circunferência.

O número π

Em qualquer circunferência, a razão entre seu comprimento $C$ e seu diâmetro $d$ é a mesma constante:

$\frac Cd=\pi.$

O número $\pi$ é irracional e tem representação decimal infinita não periódica:

$\pi\approx3{,}14159265\ldots$

Por isso:

$\pi$ representa o valor exato;
$3{,}14$ ou $3{,}1416$ são aproximações;
o número de casas usado deve seguir o enunciado ou a precisão necessária.

Não escreva $\pi=3{,}14$ como igualdade exata.

Comprimento da circunferência

Da razão $C/d=\pi$ :

$\boxed{C=\pi d}.$

Como $d=2r$ :

$\boxed{C=2\pi r}.$

Circunferências de tamanhos diferentes apresentam a mesma razão entre comprimento e diâmetro

Se o raio mede 7 cm:

$C=2\pi\cdot7=14\pi\text{ cm}.$

Esse é o valor exato. Usando $\pi\approx3{,}1416$ :

$C\approx43{,}98\text{ cm}.$

Comprimento é uma medida linear; portanto, a unidade continua sendo centímetro, metro ou quilômetro, sem expoente 2.

Encontrando raio ou diâmetro pelo comprimento

Uma circunferência tem comprimento aproximado de 31,4 cm, usando $\pi\approx3{,}14$ . Como

$C=\pi d,$

temos

$d=\frac C\pi=\frac{31{,}4}{3{,}14}=10\text{ cm}.$

Logo,

$r=\frac{10}{2}=5\text{ cm}.$

Verifique se o dado fornecido é raio, diâmetro ou comprimento. Trocar esses papéis introduz frequentemente um fator 2 no erro.

Área do círculo

A área de um círculo de raio $r$ é

$\boxed{A=\pi r^2}.$

Se $r=6$ cm:

$A=\pi\cdot6^2=36\pi\text{ cm}^2.$

Usando $\pi\approx3{,}1416$ :

$A\approx113{,}10\text{ cm}^2.$

Área usa unidade quadrada porque mede superfície. O expoente está no raio inteiro:

$A=\pi(r^2),$

e não $(\pi r)^2$ nem $2\pi r^2$ .

O método geral para identificar contorno e superfície está em Perímetro e área.

Área em função do diâmetro

Como $r=d/2$ :

$A=\pi\left(\frac d2\right)^2$

$\boxed{A=\frac{\pi d^2}{4}}.$

Para um círculo de diâmetro 12 cm:

$A=\frac{\pi\cdot12^2}{4}=36\pi\text{ cm}^2.$

Usar $A=\pi d^2$ produziria uma área quatro vezes maior que a correta.

Semicírculo e quarto de círculo

Um semicírculo corresponde à metade do círculo:

$A_{\text{semicírculo}}=\frac{\pi r^2}{2}.$

Um quarto de círculo corresponde a um quarto da área:

$A_{\text{quarto}}=\frac{\pi r^2}{4}.$

Ao calcular o perímetro de um semicírculo, inclua o arco e o diâmetro:

$P_{\text{semicírculo}}=\pi r+2r.$

Apenas $\pi r$ é o comprimento do arco semicircular, não o contorno completo da região.

Comprimento de arco

Uma volta completa possui $360^\circ$ e comprimento $2\pi r$ . Um arco associado a um ângulo central $\theta$ , medido em graus, ocupa a fração $\theta/360^\circ$ da circunferência:

$\boxed{L=\frac{\theta}{360^\circ}\cdot2\pi r}.$

Para $r=9$ cm e $\theta=80^\circ$ :

$L=\frac{80}{360}\cdot2\pi\cdot9$

$L=\frac29\cdot18\pi=4\pi\text{ cm}.$

O comprimento de arco usa unidade linear.

Área de setor circular

Um setor circular é a região limitada por dois raios e pelo arco entre eles. Em graus:

$\boxed{A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{360^\circ}\cdot\pi r^2}.$

Para $r=12$ cm e $\theta=75^\circ$ :

$A_{\text{setor}}=\frac{75}{360}\cdot\pi\cdot12^2$

$A_{\text{setor}}=\frac5{24}\cdot144\pi=30\pi\text{ cm}^2.$

Arco, setor, ângulo central e ângulo inscrito são relacionados pela parte interceptada da circunferência

Arco e setor usam a mesma fração angular, mas resultam em grandezas diferentes: comprimento para o arco e área para o setor.

Ângulo central

O ângulo central possui vértice no centro da circunferência. Sua medida em graus é igual à medida do arco que ele intercepta.

Se um ângulo central mede $110^\circ$ , o arco menor correspondente também mede $110^\circ$ .

Isso não significa que o comprimento do arco seja 110 unidades. A medida angular do arco é dada em graus; seu comprimento depende também do raio.

Para revisar vértice, lados e unidades angulares, consulte Ângulos.

Ângulo inscrito

O ângulo inscrito tem vértice sobre a circunferência e lados apoiados em duas cordas. Sua medida é a metade da medida do arco interceptado:

$\boxed{m(\widehat{AB})=2\,m(\angle APB)}$

Se o arco interceptado mede $140^\circ$ , o ângulo inscrito mede

$\frac{140^\circ}{2}=70^\circ.$

Um caso importante ocorre quando o arco interceptado é uma semicircunferência de $180^\circ$ . O ângulo inscrito mede $90^\circ$ .

Ângulo central e ângulo inscrito podem interceptar o mesmo arco, mas não têm a mesma medida: o central mede o dobro do inscrito.

Segmento circular

Um segmento circular é a região limitada por uma corda e pelo arco correspondente. Ele não deve ser confundido com setor, que é limitado por dois raios.

Quando o ângulo central e o raio são conhecidos, uma forma de calcular a área do segmento menor é

$A_{\text{segmento}}=A_{\text{setor}}-A_{\text{triângulo}}.$

A área do triângulo depende das informações disponíveis. Esse cálculo exige reconhecer corretamente as regiões antes de escolher fórmulas.

Coroa circular

Uma coroa circular é a região entre dois círculos concêntricos, com raio externo $R$ e raio interno $r$ .

Sua área é a diferença entre as áreas:

$\boxed{A_{\text{coroa}}=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)}.$

Se $R=8$ cm e $r=5$ cm:

$A=\pi(8^2-5^2)=\pi(64-25)=39\pi\text{ cm}^2.$

Não use $\pi(R-r)^2$ : em geral,

$(R-r)^2\ne R^2-r^2.$

Figuras circulares compostas

Em uma figura composta:

identifique quais regiões são adicionadas ou retiradas;
marque os raios e diâmetros;
calcule cada área ou trecho de contorno separadamente;
some ou subtraia somente grandezas do mesmo tipo.

Disco, coroa circular e pista com trechos retos e semicirculares exigem leituras diferentes

Uma pista formada por dois trechos retos de comprimento $L$ e duas semicircunferências de raio $r$ tem comprimento total

$P=2L+2\pi r,$

pois as duas semicircunferências juntas formam uma circunferência completa.

Linhas internas usadas apenas para decompor a figura não fazem parte do perímetro externo.

Variação com o raio

Se o raio é multiplicado por um fator $k$ :

o comprimento é multiplicado por $k$ ;
a área é multiplicada por $k^2$ .

Ao dobrar o raio:

$C'=2C$

$A'=4A.$

Isso acontece porque comprimento é linear e área é quadrática. A mesma distinção aparece em Semelhança de figuras.

Como o tema aparece em provas

As questões costumam envolver:

distinção entre círculo e circunferência;
raio, diâmetro, corda, secante e tangente;
rodas, engrenagens e voltas completas;
comprimento ou área com valor exato e aproximado;
semicírculos e quartos de círculo;
arcos e setores proporcionais a ângulos centrais;
ângulos centrais e inscritos;
coroas e figuras compostas;
comparação após alterar o raio;
identificação da unidade correta.

O enunciado pode fornecer $\pi=3$ , $\pi=3{,}14$ ou outra aproximação. Use o valor solicitado, mesmo que uma calculadora ofereça mais casas.

Exemplo integrado

Uma roda tem raio de 35 cm e realiza 200 voltas completas. Qual distância percorre, desconsiderando deslizamento?

Cada volta corresponde ao comprimento da circunferência:

$C=2\pi r=2\pi\cdot35=70\pi\text{ cm}.$

Em 200 voltas:

$D=200\cdot70\pi=14\,000\pi\text{ cm}.$

Convertendo para metros:

$D=140\pi\text{ m}.$

Usando $\pi\approx3{,}1416$ :

$D\approx439{,}82\text{ m}.$

O número de voltas multiplica o comprimento, não a área da roda.

Erros frequentes

Tratar circunferência e círculo como o mesmo objeto em qualquer contexto.
Confundir raio com diâmetro.
Chamar qualquer corda de diâmetro.
Usar $2\pi r$ para área ou $\pi r^2$ para comprimento.
Esquecer o quadrado em $A=\pi r^2$ .
Escrever $\pi=3{,}14$ como valor exato.
Dar resposta de área em centímetros, sem quadrado.
Usar diretamente o diâmetro no lugar do raio na fórmula da área.
Calcular arco ou setor sem aplicar a fração $\theta/360^\circ$ .
Atribuir ao ângulo inscrito a mesma medida do arco.
Considerar apenas o arco no perímetro de um semicírculo.
Contar linhas internas no perímetro de figura composta.
Usar $\pi(R-r)^2$ para uma coroa circular.

Roteiro de resolução

Decida se a questão pede comprimento, área ou ângulo.
Identifique centro, raio, diâmetro e região relevante.
Converta $d=2r$ quando necessário.
Escolha a fórmula compatível com a grandeza.
Para uma parte, determine a fração do círculo completo.
Mantenha $\pi$ para o valor exato ou use a aproximação indicada.
Em figuras compostas, calcule as partes antes de combinar.
Confira unidade, ordem de grandeza e plausibilidade.

Síntese para revisão

Circunferência é a fronteira; círculo inclui a região interna.
Raio liga o centro à circunferência e $d=2r$ .
Corda tem extremidades na circunferência; diâmetro é a maior corda.
$\pi=C/d$ é uma constante irracional.
Comprimento: $C=2\pi r=\pi d$ .
Área: $A=\pi r^2$ .
Arco: $L=(\theta/360^\circ)2\pi r$ .
Setor: $A=(\theta/360^\circ)\pi r^2$ .
Ângulo central mede o mesmo que seu arco; o inscrito mede a metade.
Coroa: $A=\pi(R^2-r^2)$ .
Se o raio varia por $k$ , comprimento varia por $k$ e área por $k^2$ .

A representação por coordenadas e a equação cartesiana são aprofundadas em Geometria analítica.

Próximos passos

Continue em Geometria espacial para estudar sólidos, planificações e relações espaciais. Depois, Áreas e volumes aprofundará as medidas de superfícies e capacidades desses sólidos.