Inequações

Equação e inequação não são a mesma coisa

Em $2x+3=11$, buscamos valores que produzam igualdade. Já

$2x+3<11$

pergunta quais valores tornam o primeiro membro menor que o segundo. A solução é $x<4$: números como 0 e 3 funcionam; 4 e 5 não.

A técnica parte de Equação do primeiro grau, mas incorpora propriedades específicas da ordem.

Como ler os sinais

• $a<b$: $a$ é menor que $b$.
• $a>b$: $a$ é maior que $b$.
• $a\le b$: $a$ é menor ou igual a $b$.
• $a\ge b$: $a$ é maior ou igual a $b$.

A abertura do sinal aponta para o maior número. Também podemos inverter a escrita: $x>3$ e $3<x$ têm o mesmo significado.

Conjunto-solução e reta numérica

A inequação $x>3$ não inclui 3 e segue para a direita. Já $x\le3$ inclui 3 e segue para a esquerda.

Na notação de intervalos:

$x>3\quad\Longleftrightarrow\quad(3,+\infty),$

$x\le3\quad\Longleftrightarrow\quad(-\infty,3].$

Parêntese indica extremidade excluída; colchete, incluída. Infinito nunca é uma extremidade atingida, portanto sempre recebe parêntese.

Operações que preservam o sinal

Somar ou subtrair o mesmo número nos dois membros mantém a ordem. Multiplicar ou dividir por um número positivo também.

Resolva $3x-5\le16$:

$3x-5+5\le16+5$

$3x\le21$

$x\le7.$

O conjunto-solução é $(-\infty,7]$.

Por que o sinal se inverte com número negativo

Sabemos que $2<5$. Multiplicando ambos por $-1$, obtemos $-2$ e $-5$. Na reta, $-2$ fica à direita de $-5$, então

$-2>-5.$

Portanto, ao multiplicar ou dividir os dois membros por um número negativo, o sentido precisa ser invertido.

Exemplo

$-4x>20.$

Dividindo por $-4$ e invertendo $>$ para $<$:

$x<-5.$

Teste: $x=-6$ produz $24>20$, verdadeiro. Se esquecêssemos a inversão, $x=0$ seria aceito, embora gere $0>20$, falso.

Roteiro geral

1. Simplifique cada membro: distributiva e termos semelhantes.
2. Elimine denominadores numéricos, se ajudar.
3. Reúna os termos com incógnita em um lado.
4. Isole a incógnita.
5. Inverta o sinal somente se multiplicar ou dividir por valor negativo.
6. Represente a solução e teste um valor.

Incógnita nos dois membros

Resolva $7x-4>3x+12$:

$4x-4>12$

$4x>16$

$x>4.$

Aqui não houve inversão: subtrair $3x$ e somar 4 preservam a ordem; dividir por 4, que é positivo, também.

Parênteses e coeficiente negativo

Resolva $5-2(x+1)\ge11$:

$5-2x-2\ge11$

$3-2x\ge11$

$-2x\ge8.$

Ao dividir por $-2$:

$x\le-4.$

Verificação com $x=-5$: $5-2(-4)=13$, e $13\ge11$.

Frações e decimais

Em

$\frac{x}{3}-\frac12<\frac56,$

multiplique todos os termos por 6, que é positivo:

$2x-3<5\Rightarrow2x<8\Rightarrow x<4.$

O sinal permanece. Se o multiplicador comum fosse negativo, seria necessário invertê-lo. Revise Frações para manipular denominadores com segurança.

Quando a incógnita desaparece

Considere $2(x+3)<2x+10$:

$2x+6<2x+10\Rightarrow6<10.$

A sentença é sempre verdadeira, então a solução é $\mathbb{R}$ ou $(-\infty,+\infty)$.

Agora $3(x-1)\ge3x+2$:

$3x-3\ge3x+2\Rightarrow-3\ge2.$

A sentença é falsa; o conjunto-solução é vazio, $\varnothing$.

Inequações compostas

A escrita

$2\le x<7$

exige simultaneamente $x\ge2$ e $x<7$. A solução é $[2,7)$.

Resolva $1\le2x+3<9$ operando nas três partes:

$-2\le2x<6$

$-1\le x<3.$

Logo, $x\in[-1,3)$. Se dividíssemos as três partes por um número negativo, ambos os sinais seriam invertidos e a ordem final reorganizada.

Com “ou”, reunimos valores que atendem a pelo menos uma condição. Por exemplo, $x<-2$ ou $x\ge4$ corresponde a

$(-\infty,-2)\cup[4,+\infty).$

Modelagem de limites

Orçamento máximo

Uma assinatura custa R$25 fixos mais R$ 8 por uso. Para gastar no máximo R$ 105:

$25+8x\le105.$

Então $8x\le80$ e $x\le10$. Como $x$ conta usos, os valores possíveis são inteiros de 0 a 10.

Nota mínima

Uma média é calculada por $(6+7+x)/3$ e precisa ser pelo menos 7:

$\frac{13+x}{3}\ge7.$

Logo, $13+x\ge21$ e $x\ge8$. Se a nota máxima é 10, o contexto restringe a solução algébrica ao intervalo $[8,10]$.

Capacidade

Um elevador suporta até 600 kg. Com 90 kg de carga fixa e pessoas de massa estimada em 70 kg:

$90+70p\le600.$

Temos $70p\le510$, portanto $p\le51/7\approx7{,}29$. Como $p$ é inteiro, cabem no máximo 7 pessoas — não 7,29 pessoas nem 8 por arredondamento.

Como validar

Teste um valor dentro da região e, quando possível, outro fora. Confira também a fronteira: em $x\le7$, o próprio 7 deve funcionar; em $x<7$, não.

Em problemas, intercepte a solução algébrica com as restrições naturais: contagens inteiras, medidas positivas, capacidades máximas e domínios informados.

Erros frequentes

• Tratar a resposta como um único número.
• Inverter o sinal ao somar ou subtrair um número negativo.
• Não inverter ao multiplicar ou dividir por negativo.
• Usar ponto fechado para $<$ ou $>$.
• Usar ponto aberto para $\le$ ou $\ge$.
• Colocar colchete no infinito.
• Multiplicar apenas parte da inequação pelo MMC.
• Confundir “no máximo” com $\ge$ e “pelo menos” com $\le$.
• Ignorar que contagens devem ser inteiras.
• Arredondar uma restrição para um valor que a viola.

Síntese

• Inequações descrevem relações de ordem e normalmente têm muitos valores como solução.
• Somar, subtrair ou usar fator positivo preserva o sinal.
• Multiplicar ou dividir por fator negativo inverte o sentido.
• A solução pode ser escrita como desigualdade, intervalo ou região na reta.
• Fronteira aberta exclui; fechada inclui.
• Verdade constante indica todos os reais; contradição indica conjunto vazio.
• A resposta contextual pode exigir restrições adicionais.

Próximos passos

A trilha segue para Equação do segundo grau. Mais adiante, Função afim permitirá interpretar desigualdades a partir de gráficos e taxas de variação.

Referências

• Base Nacional Comum Curricular — MEC
• Elementary Algebra 2e: Solve Linear Inequalities — OpenStax
• Elementary Algebra 2e: Applications with Linear Inequalities — OpenStax
• Intermediate Algebra 2e: Compound Inequalities — OpenStax