Probabilidade condicional

O que significa condicionar uma probabilidade

Considere dois eventos A e B. A notação P(A | B) é lida como “probabilidade de A, dado B”. A barra vertical não representa divisão: ela introduz a informação que deve ser tratada como verdadeira.

Se P(B)>0, então:

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

O denominador é P(B) porque B se tornou o novo universo. O numerador é P(A ∩ B) porque, dentro desse universo, interessam apenas os resultados que também pertencem a A.

Esse raciocínio amplia os conceitos apresentados em Probabilidade. Antes de prosseguir, certifique-se de reconhecer espaço amostral, evento e interseção.

Uma tabela revela o novo universo

Uma turma tem 60 estudantes. A tabela registra gênero e aprovação:

Grupo	Aprovados	Não aprovados	Total
Mulheres	27	9	36
Homens	12	12	24
Total	39	21	60

Seja R o evento “aprovação” e M o evento “ser mulher”. Se uma pessoa sorteada é mulher, qual é a probabilidade de ter sido aprovada? A condição reduz o total de 60 para 36; dentro dele, há 27 aprovadas:

$$P(R\mid M)=\frac{27}{36}=\frac34=75\%.$$

Agora inverta a pergunta: sabendo que a pessoa foi aprovada, qual é a probabilidade de ser mulher? O novo universo contém os 39 aprovados:

$$P(M\mid R)=\frac{27}{39}=\frac9{13}\approx69{,}2\%.$$

Em geral, P(A | B) e P(B | A) não são iguais. O numerador pode até ser a mesma interseção, mas cada condição define um denominador diferente.

Regra do produto

Reorganizando a definição, obtemos:

$$P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B).$$

Também é válido escrever:

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A).$$

Essa regra é especialmente útil em experimentos sucessivos. Primeiro calcule a chance de chegar a uma etapa; depois multiplique pela chance da etapa seguinte sob a condição de que a anterior ocorreu.

Sem reposição: a segunda chance muda

Uma urna contém 3 fichas azuis e 2 laranjas. Duas fichas serão retiradas sem reposição. A probabilidade de ambas serem azuis é:

$$P(Z_1\cap Z_2)=\frac35\cdot\frac24=\frac6{20}=\frac3{10}=30\%.$$

Depois de sair uma ficha azul, restam 2 azuis entre 4 fichas. Usar 3/5 novamente ignoraria a alteração causada pela primeira retirada.

Em uma árvore:

• multiplique as probabilidades ao longo de um caminho ligado por “e”;
• some caminhos finais alternativos ligados por “ou”;
• confira se os ramos que saem de um mesmo nó somam 1.

Com reposição, a ficha volta para a urna e a composição original é restaurada. Nesse caso:

$$P(Z_1\cap Z_2)=\frac35\cdot\frac35=\frac9{25}=36\%.$$

Independência entre eventos

Os eventos A e B são independentes quando saber que um ocorreu não altera a probabilidade do outro:

$$P(A\mid B)=P(A).$$

Uma forma equivalente de testar a independência é:

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$$

Em dois lançamentos de uma moeda equilibrada, sejam A = “cara no primeiro lançamento” e B = “cara no segundo”. Temos P(A)=1/2, P(B)=1/2 e P(A ∩ B)=1/4. Como 1/4=(1/2)(1/2), os eventos são independentes.

Não conclua independência apenas porque os eventos parecem diferentes. Compare numericamente a condicional com a probabilidade original ou a interseção com o produto.

Independentes não significa mutuamente exclusivos

Eventos mutuamente exclusivos não podem ocorrer juntos, portanto P(A ∩ B)=0. Eventos independentes podem ocorrer juntos, mas um não altera a chance do outro.

Se dois eventos mutuamente exclusivos têm probabilidades positivas, eles são dependentes: quando um acontece, a probabilidade do outro passa a zero.

Em um dado, “resultado par” e “resultado ímpar” são mutuamente exclusivos e dependentes. Já obter cara no primeiro e no segundo lançamento de uma moeda são eventos independentes e não mutuamente exclusivos.

Exemplo integrado: caminhos alternativos

Sejam D o evento “defeito”, L_A o evento “linha A” e L_B o evento “linha B”. Uma peça vem da linha A com probabilidade 60% e da linha B com probabilidade 40%. As taxas de defeito são, respectivamente, 2% e 5%. Há dois caminhos incompatíveis para obter uma peça defeituosa:

$$P(D\cap L_A)=0{,}60\cdot0{,}02=0{,}012,$$ $$P(D\cap L_B)=0{,}40\cdot0{,}05=0{,}020.$$

Somando os caminhos:

$$P(D)=0{,}012+0{,}020=0{,}032=3{,}2\%.$$

A multiplicação calcula cada caminho completo; a soma reúne as maneiras alternativas de chegar ao mesmo resultado final.

Um método confiável para resolver questões

1. Nomeie claramente os eventos.
2. Traduza “dado que”, “sabendo que” ou “entre os que” como condição.
3. Identifique qual evento será o novo universo.
4. Use tabela, árvore ou diagrama para organizar os dados.
5. Em uma sequência, atualize quantidades e denominadores após cada etapa.
6. Multiplique etapas de um mesmo caminho e some caminhos alternativos.
7. Teste independência por uma igualdade adequada; não a suponha.
8. Verifique se o resultado está entre 0 e 1 e interprete-o no contexto.

Como aparece em provas

As questões costumam envolver tabelas de dupla entrada, pesquisas, diagnósticos, produção industrial, cartas, urnas e retiradas sucessivas. Expressões como “entre os aprovados”, “sabendo que”, “selecionado o primeiro” e “sem reposição” indicam que o universo ou a probabilidade da etapa seguinte precisa ser atualizado.

Quando o espaço amostral é grande, use o Princípio fundamental da contagem ou a Análise combinatória antes de calcular a probabilidade.

Erros frequentes

• dividir por todos os casos, mesmo depois de receber uma condição;
• inverter P(A | B) e P(B | A);
• tratar a barra condicional como uma divisão entre eventos;
• manter o mesmo denominador em retiradas sem reposição;
• multiplicar probabilidades marginais sem confirmar independência;
• confundir independência com exclusão mútua;
• somar probabilidades ao longo de um único caminho da árvore;
• esquecer de somar caminhos alternativos favoráveis.

Síntese para revisão

Situação	Regra ou interpretação
probabilidade de A dado B	`P(A
interseção em etapas	`P(A ∩ B)=P(A)P(B
eventos independentes	`P(A
sem reposição	composição e probabilidades mudam
com reposição	composição original é restaurada
árvore	multiplique no caminho; some caminhos alternativos

Próximos passos

• Revise Probabilidade se precisar retomar espaço amostral, eventos e complemento.
• Aprofunde a contagem em Análise combinatória quando os casos possíveis não puderem ser listados.
• Na próxima unidade, organize dados, perguntas e estratégias em Como interpretar problemas matemáticos.

Referências

• Base Nacional Comum Curricular — Ministério da Educação.
• OpenStax Contemporary Mathematics — Conditional Probability and the Multiplication Rule.
• OpenStax Introductory Statistics 2e — Independent and Mutually Exclusive Events.