Áreas e volumes

Superfície, volume ou capacidade?

Três perguntas ajudam a escolher a grandeza:

• Quanto material reveste, pinta ou envolve? Calcule área, em unidades quadradas como cm² ou m².
• Quanto espaço o objeto ocupa? Calcule volume, em unidades cúbicas como cm³ ou m³.
• Quanto líquido cabe no recipiente? Calcule o volume interno e converta para litros ou mililitros.

Em uma caixa fechada, a área total inclui todas as faces. Em uma caixa sem tampa, a tampa não entra no cálculo. O modelo deve acompanhar o objeto descrito, não apenas uma fórmula memorizada.

Área lateral e área total

A área lateral reúne apenas as superfícies que ligam as bases. A área total acrescenta a área das bases existentes:

$A_T=A_L+\text{área das bases}.$

Um cilindro fechado possui duas bases; um copo cilíndrico aberto possui apenas a base inferior; um rótulo cobre somente a superfície lateral. Ler o contexto evita incluir ou excluir partes indevidamente.

Prismas retos

Considere B como a área de uma base, P_b como o perímetro da base e h como a altura perpendicular. Em um prisma reto:

$V=Bh,$

$A_L=P_bh$

e

$A_T=2B+P_bh.$

O volume resulta de repetir uma seção de área B ao longo da altura h. Para obter B e P_b, use as fórmulas de Perímetro e área.

Bloco retangular e cubo

Para um bloco de dimensões a, b e c:

$V=abc$

e

$A_T=2(ab+ac+bc).$

Se todas as arestas medem a, temos um cubo:

$V=a^3 \quad\text{e}\quad A_T=6a^2.$

Exemplo. Um bloco mede 8 cm × 5 cm × 3 cm:

$V=8\cdot5\cdot3=120\text{ cm}^3,$

$A_T=2(8\cdot5+8\cdot3+5\cdot3)=158\text{ cm}^2.$

Observe que 120 cm³ e 158 cm² não podem ser somados ou comparados como se fossem a mesma grandeza.

Cilindros retos

No cilindro de raio r e altura h, a base é um círculo:

$B=\pi r^2.$

Ao abrir a superfície lateral, ela forma um retângulo de largura igual ao comprimento da circunferência, 2πr, e altura h. Assim:

$A_L=2\pi rh,$

$A_T=2\pi r^2+2\pi rh$

e

$V=\pi r^2h.$

Exemplo. Para r=3 cm e h=10 cm:

$A_L=2\pi\cdot3\cdot10=60\pi\text{ cm}^2,$

$A_T=2\pi\cdot3^2+60\pi=78\pi\text{ cm}^2,$

$V=\pi\cdot3^2\cdot10=90\pi\text{ cm}^3.$

Mantenha π na resposta exata e só use uma aproximação decimal se o enunciado pedir. Revise círculo e circunferência em Circunferência e círculo.

Pirâmides

Uma pirâmide com área da base B e altura perpendicular h tem volume

$V=\frac{Bh}{3}.$

O fator 1/3 não é opcional: uma pirâmide ocupa um terço do volume de um prisma com base e altura iguais.

Em uma pirâmide regular, seja P_b o perímetro da base e g o apótema da pirâmide — a altura inclinada de uma face lateral. Então:

$A_L=\frac{P_bg}{2}$

e

$A_T=B+\frac{P_bg}{2}.$

Exemplo. Uma pirâmide regular tem base quadrada de lado 6 cm e altura 4 cm. Do centro da base ao ponto médio de um lado há 3 cm; pelo Teorema de Pitágoras:

$g=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ cm}.$

Logo,

$V=\frac{6^2\cdot4}{3}=48\text{ cm}^3,$

$A_L=\frac{(4\cdot6)\cdot5}{2}=60\text{ cm}^2$

e A_T=36+60=96 cm².

Cones retos

No cone reto, a altura h é perpendicular à base; a geratriz g percorre a superfície inclinada. Elas não são intercambiáveis. Com raio r:

$g^2=h^2+r^2,$

$A_L=\pi rg,$

$A_T=\pi r^2+\pi rg$

e

$V=\frac{\pi r^2h}{3}.$

Exemplo. Para r=5 cm e h=12 cm, temos g=13 cm. Portanto:

$A_L=65\pi\text{ cm}^2,$

$A_T=25\pi+65\pi=90\pi\text{ cm}^2$

e

$V=\frac{\pi\cdot25\cdot12}{3}=100\pi\text{ cm}^3.$

Esferas

Uma esfera de raio r possui área superficial e volume dados por

$A=4\pi r^2$

e

$V=\frac{4}{3}\pi r^3.$

Exemplo. Se r=6 cm:

$A=4\pi\cdot6^2=144\pi\text{ cm}^2$

e

$V=\frac{4}{3}\pi\cdot6^3=288\pi\text{ cm}^3.$

Se o enunciado fornece o diâmetro, divida-o por 2 antes de substituir na fórmula.

Volume e capacidade

As relações fundamentais são:

$1\text{ dm}^3=1\text{ L},$

$1\text{ cm}^3=1\text{ mL}$

e

$1\text{ m}^3=1.000\text{ L}.$

Exemplo. Um aquário retangular com dimensões internas 60 cm × 30 cm × 40 cm tem

$V=60\cdot30\cdot40=72.000\text{ cm}^3=72.000\text{ mL}=72\text{ L}.$

Esse é o limite geométrico. Se o aquário não for preenchido até a borda, a quantidade real será menor. Para revisar fatores quadráticos e cúbicos, consulte Unidades de medida e conversões.

Como a escala altera área e volume

Se todas as medidas lineares são multiplicadas por um fator k, então:

• comprimentos são multiplicados por k;
• áreas são multiplicadas por k²;
• volumes são multiplicados por k³.

Assim, ampliar um sólido por fator 3 multiplica sua área por 9 e seu volume por 27. A forma permanece semelhante, mas as grandezas não crescem na mesma proporção. A justificativa completa está em Semelhança de figuras.

Sólidos compostos e partes vazadas

Quando a figura é composta:

1. divida-a em sólidos conhecidos;
2. calcule cada medida separadamente;
3. some volumes de partes acrescentadas;
4. subtraia cavidades, furos ou partes removidas.

Para superfícies, conte somente as regiões expostas. Faces coladas entre duas peças ficam internas e não participam da área externa.

No deslocamento de líquido, o aumento do volume ocupado pelo líquido corresponde ao volume da parte submersa do objeto. Antes de usar a diferença entre níveis, verifique se a unidade da graduação é compatível.

Um roteiro confiável

1. Identifique o sólido ou decomponha a figura.
2. Decida entre área lateral, área total, volume ou capacidade.
3. Marque base, raio, altura perpendicular e, quando necessário, geratriz.
4. Converta as medidas para uma única unidade.
5. Calcule primeiro a área da base.
6. Aplique a fórmula e registre unidade quadrada ou cúbica.
7. Verifique faces abertas, cavidades e plausibilidade do resultado.

Erros frequentes

• usar cm² para volume ou cm³ para área;
• confundir raio com diâmetro;
• usar geratriz no volume do cone;
• esquecer o fator 1/3 em pirâmides e cones;
• contar duas bases em recipientes abertos;
• converter comprimento e repetir o mesmo fator para área ou volume;
• somar superfícies internas que ficam coladas;
• arredondar π cedo demais.

Síntese para revisão

Sólido	Área lateral	Área total	Volume
prisma reto	P_bh	2B+P_bh	Bh
cilindro reto	2πrh	2πr²+2πrh	πr²h
pirâmide regular	P_bg/2	B+P_bg/2	Bh/3
cone reto	πrg	πr²+πrg	πr²h/3
esfera	—	4πr²	4πr³/3

As fórmulas pressupõem os modelos indicados. Em uma situação real, adapte o cálculo às superfícies presentes e às dimensões internas ou externas fornecidas.

Próximos passos

Continue em Geometria analítica para estudar pontos, retas, circunferências e distâncias por coordenadas e equações. A visualização geométrica construída aqui ajuda a interpretar essas representações algébricas.

Referências

• Base Nacional Comum Curricular — Ministério da Educação.
• OpenStax Contemporary Mathematics — Volume and Surface Area.
• OpenStax Prealgebra 2e — Volume and Surface Area.
• OpenStax Calculus Volume 2 — Determining Volumes by Slicing.