Semelhança de figuras e triângulos

Três polígonos semelhantes aumentam a partir do mesmo centro de ampliação

Duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma, ainda que possam ter tamanhos ou orientações diferentes. Isso exige duas condições simultâneas: ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais.

Ideia central: uma figura semelhante é obtida da outra por um único fator de escala aplicado a todos os comprimentos. A forma é preservada porque os ângulos não mudam e todas as medidas lineares variam na mesma proporção.

O que significa ser semelhante

Considere os polígonos $ABCDE$ e $A'B'C'D'E'$ . A escrita

$ABCDE\sim A'B'C'D'E'$

indica a correspondência

$A\leftrightarrow A',\quad B\leftrightarrow B',\quad C\leftrightarrow C',\ldots$

Assim,

$\angle A=\angle A',\quad \angle B=\angle B',\quad \angle C=\angle C',\ldots$

e existe uma constante positiva $k$ tal que

$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'D'}{CD}=\cdots=k.$

Essa constante é o fator de semelhança ou fator de escala da primeira figura para a segunda.

Correspondência vem antes da proporção

Não compare lados apenas porque ocupam posições parecidas no desenho. Primeiro relacione vértices por ângulos, marcas ou ordem de escrita; depois forme as razões.

Dois triângulos mostram a ordem correta entre vértices, ângulos e lados correspondentes

$\triangle ABC\sim\triangle DEF,$

a ordem informa

$A\leftrightarrow D,\quad B\leftrightarrow E,\quad C\leftrightarrow F.$

Logo,

$AB\leftrightarrow DE,\quad BC\leftrightarrow EF,\quad AC\leftrightarrow DF$

e uma proporção coerente é

$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}.$

Trocar apenas um denominador mistura sentidos e produz uma equação sem significado geométrico.

Fator de escala

Se uma figura é ampliada e um lado passa de 6 cm para 15 cm, o fator da figura original para a ampliada é

$k=\frac{15}{6}=2{,}5.$

Todo comprimento correspondente deve ser multiplicado por $2{,}5$ . Um lado de 8 cm passa a medir

$8\cdot2{,}5=20\text{ cm}.$

No sentido inverso, o fator é o recíproco:

$k_{\text{ampliada}\to\text{original}}=\frac1{2{,}5}=0{,}4.$

Portanto, sempre registre a direção da transformação.

Ampliação, redução e congruência

Se $k>1$ , há ampliação.
Se $0<k<1$ , há redução.
Se $k=1$ , as figuras semelhantes têm o mesmo tamanho e são congruentes.

Toda figura congruente é semelhante com fator 1. A recíproca não é verdadeira: figuras semelhantes podem ter tamanhos diferentes.

Reflexões e rotações não impedem a semelhança. O que importa são as correspondências, não a orientação na página.

Exemplo com lado desconhecido

Dois quadriláteros semelhantes têm lados correspondentes de 5 cm e 8 cm. Na primeira figura, outro lado mede 12 cm; na segunda, ele mede $x$ .

Mantendo o mesmo sentido,

$\frac{8}{5}=\frac{x}{12}.$

Pela multiplicação cruzada,

$5x=96$

$x=19{,}2\text{ cm}.$

Como a segunda figura é maior, $x$ deve ser maior que 12 cm. Essa verificação de plausibilidade ajuda a detectar razões invertidas.

Semelhança de triângulos

Em polígonos gerais, verificar todos os ângulos e todos os lados pode ser trabalhoso. Para triângulos, algumas informações bastam para garantir todas as demais. São os critérios de semelhança.

Os critérios AA, LAL e LLL aparecem em três pares de triângulos

Critério AA

Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de outro, os triângulos são semelhantes.

O terceiro par também será congruente porque a soma interna de cada triângulo é $180^\circ$ .

Exemplo: um triângulo tem ângulos $45^\circ$ , $60^\circ$ e $75^\circ$ ; outro tem $60^\circ$ , $75^\circ$ e $45^\circ$ . Eles são semelhantes por AA, embora os vértices devam ser reordenados para explicitar a correspondência.

Critério LAL

Dois triângulos são semelhantes quando possuem:

dois pares de lados correspondentes proporcionais;
os ângulos compreendidos entre esses lados congruentes.

Se os lados em torno do ângulo medem 4 e 6 em um triângulo, e 10 e 15 no outro,

$\frac{10}{4}=\frac{15}{6}=2{,}5.$

Se os ângulos entre esses pares têm a mesma medida, a semelhança é garantida por LAL.

Um ângulo fora dos lados comparados não satisfaz o critério.

Critério LLL

Dois triângulos são semelhantes quando os três pares de lados correspondentes são proporcionais.

Os triângulos de lados 3, 4 e 5 e de lados 9, 12 e 15 são semelhantes porque

$\frac93=\frac{12}4=\frac{15}5=3.$

Não basta encontrar apenas um par proporcional. O critério LLL exige a mesma razão nos três pares.

Encontrando uma medida em triângulos semelhantes

Suponha

$\triangle ABC\sim\triangle DEF,$

com $AB=6$ , $BC=9$ , $DE=10$ e $EF=x$ . Como $AB\leftrightarrow DE$ e $BC\leftrightarrow EF$ ,

$\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}.$

Substituindo:

$\frac{10}{6}=\frac{x}{9}.$

Então,

$6x=90$

$x=15.$

O fator da primeira figura para a segunda é $10/6=5/3$ , e $9\cdot5/3=15$ confirma o resultado.

Retas paralelas formam triângulos semelhantes

Quando uma reta paralela a um lado de um triângulo corta os outros dois lados, surge um triângulo menor semelhante ao original por AA: ângulos correspondentes aparecem pelas relações entre paralelas e transversais.

No triângulo $ABC$ , se $D$ pertence a $AB$ , $E$ pertence a $AC$ e $DE\parallel BC$ , então

$\triangle ADE\sim\triangle ABC.$

Consequentemente,

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}.$

Também são proporcionais os segmentos determinados nos lados:

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}.$

Essa estrutura conecta semelhança ao Teorema de Tales sem transformar esta página em um conteúdo separado sobre paralelas.

Medição indireta por sombras

Sob a mesma iluminação e no mesmo instante, objetos verticais e suas sombras formam triângulos retângulos com o mesmo ângulo de incidência da luz. Por AA, os triângulos são semelhantes.

Uma pessoa e um poste formam triângulos semelhantes por suas alturas e sombras

Uma pessoa de 1,8 m projeta sombra de 1,2 m. No mesmo momento, um poste projeta sombra de 8 m. Se $h$ é a altura do poste,

$\frac{h}{8}=\frac{1{,}8}{1{,}2}.$

Logo,

$h=8\cdot1{,}5=12\text{ m}.$

A hipótese “no mesmo momento” é relevante: se a inclinação dos raios solares mudar, os ângulos deixam de corresponder.

Perímetros em figuras semelhantes

Se todos os lados são multiplicados por $k$ , a soma deles também é. Portanto,

$P'=kP.$

Um polígono de perímetro 28 cm ampliado com fator $1{,}5$ terá

$P'=1{,}5\cdot28=42\text{ cm}.$

Essa propriedade vale para qualquer figura semelhante porque perímetro é uma medida linear.

Áreas em figuras semelhantes

Área depende de duas dimensões lineares. Se ambas são multiplicadas por $k$ ,

$A'=k^2A.$

O fator k altera comprimentos e perímetros por k, mas áreas por k ao quadrado

Se um triângulo de área $24\text{ cm}^2$ é ampliado com fator 3,

$A'=3^2\cdot24=216\text{ cm}^2.$

O erro comum é multiplicar a área apenas por 3. Para revisar as grandezas, consulte Perímetro e área.

No sentido inverso, se a razão entre áreas é conhecida,

$k=\sqrt{\frac{A'}A}.$

Se duas figuras semelhantes têm áreas 50 e 98,

$k=\sqrt{\frac{98}{50}}=\sqrt{1{,}96}=1{,}4.$

Assim, cada comprimento da segunda é 1,4 vez o correspondente da primeira.

Como identificar se duas figuras são semelhantes

Use este procedimento:

Identifique possíveis vértices correspondentes.
Compare os ângulos correspondentes.
Forme razões de lados no mesmo sentido.
Verifique se existe um único fator $k$ .
Em triângulos, procure diretamente AA, LAL ou LLL.
Confira se o resultado preserva a forma e a ordem dos vértices.

Ter lados proporcionais sem ângulos correspondentes congruentes não garante semelhança para polígonos gerais. Triângulos são um caso especial porque os critérios fornecem condições suficientes.

Como o tema aparece em provas

As questões costumam envolver:

ampliações e reduções em malhas;
lados desconhecidos em polígonos ou triângulos;
retas paralelas cortando transversais;
sombras, espelhos e medições inacessíveis;
razões entre perímetros ou áreas;
comparação entre modelos e objetos reais;
identificação do critério que demonstra semelhança.

Antes de montar uma regra de três, justifique por que as grandezas pertencem a lados correspondentes de figuras semelhantes.

Exemplo integrado

Dois terrenos triangulares semelhantes têm razão entre as áreas igual a $9/25$ . O menor tem perímetro 36 m. Qual é o perímetro do maior?

A razão linear é a raiz da razão entre áreas:

$\frac{k_{\text{menor}}}{k_{\text{maior}}}=\sqrt{\frac9{25}}=\frac35.$

Logo, a razão do maior para o menor é $5/3$ . O perímetro do maior é

$P=36\cdot\frac53=60\text{ m}.$

Observe a sequência: área fornece razão quadrática; extraímos a raiz para obter a razão linear; só então aplicamos essa razão ao perímetro.

Erros frequentes

Julgar semelhança apenas pela aparência do desenho.
Comparar lados que não são correspondentes.
Alterar o sentido de uma razão dentro da mesma proporção.
Confundir figuras semelhantes com figuras congruentes.
Usar LAL com um ângulo que não está entre os lados comparados.
Usar LLL depois de conferir apenas dois pares de lados.
Multiplicar áreas por $k$ em vez de $k^2$ .
Usar a razão entre áreas diretamente em perímetros.
Ignorar unidades ou misturar centímetros e metros.
Arredondar cedo demais uma razão que poderia ser mantida como fração.

Roteiro de resolução

Escreva a correspondência entre vértices.
Justifique a semelhança ou use a informação dada.
Escolha dois pares de lados correspondentes.
Mantenha todas as razões no mesmo sentido.
Resolva a proporção ou aplique diretamente o fator $k$ .
Para perímetros, use $k$ ; para áreas, use $k^2$ .
Confira unidade, direção da escala e plausibilidade.

Síntese para revisão

Figuras semelhantes têm ângulos correspondentes congruentes e lados proporcionais.
O fator $k$ relaciona todos os comprimentos correspondentes.
A ordem dos vértices determina a correspondência.
Em triângulos, AA, LAL e LLL garantem semelhança.
Retas paralelas podem produzir triângulos semelhantes.
Medidas indiretas usam proporções entre lados correspondentes.
Perímetros variam por $k$ e áreas por $k^2$ .
Congruência é semelhança com fator $k=1$ .

Próximos passos

Continue em Teorema de Pitágoras para estudar a relação entre os lados do triângulo retângulo. Em Escalas, aplique fatores de redução e ampliação a mapas, plantas e representações.