Função quadrática

O que é função quadrática

A forma geral é

$f(x)=ax^2+bx+c,$

em que $a$, $b$ e $c$ são reais e $a\ne0$.

A condição $a\ne0$ é indispensável. Se $a=0$, desaparece o termo de grau 2 e resta uma Função afim ou constante.

Exemplos de funções quadráticas:

$f(x)=x^2-4x+3,$

$g(x)=-2x^2+8,$

$h(x)=\frac12x^2+3x-1.$

O domínio natural de uma função quadrática real é $\mathbb{R}$, pois polinômios podem ser calculados para qualquer número real. Em problemas, o domínio contextual pode ser menor.

Anatomia da parábola

O gráfico possui elementos que se conectam à expressão algébrica:

• concavidade: direção para a qual a parábola se abre;
• vértice: ponto de mínimo ou máximo;
• eixo de simetria: reta vertical que passa pelo vértice;
• zeros ou raízes: entradas em que $f(x)=0$;
• intercepto vertical: ponto $(0,c)$.

A parábola não é formada apenas por esses pontos: eles servem como referências para compreender e esboçar a curva.

Concavidade e abertura

O sinal de $a$ determina a concavidade:

• se $a>0$, a parábola se abre para cima e o vértice é um mínimo;
• se $a<0$, abre-se para baixo e o vértice é um máximo.

O módulo $|a|$ influencia a abertura. Comparadas no mesmo sistema:

• $y=3x^2$ parece mais estreita que $y=x^2$;
• $y=\frac14x^2$ parece mais larga que $y=x^2$.

O coeficiente não altera apenas um desenho: ele multiplica os afastamentos verticais em relação ao vértice. Não se deve concluir que uma parábola “mais fechada” possui domínio menor; todas continuam definidas para qualquer real.

Eixo de simetria e vértice

Na forma geral, a coordenada horizontal do vértice é

$x_v=-\frac{b}{2a}.$

A coordenada vertical vem da própria função:

$y_v=f(x_v).$

Para $f(x)=x^2-6x+5$, temos $a=1$ e $b=-6$:

$x_v=-\frac{-6}{2\cdot1}=3,$

$y_v=f(3)=9-18+5=-4.$

Logo, o vértice é $V=(3,-4)$ e o eixo de simetria é a reta $x=3$. Como $a>0$, o valor $-4$ é o mínimo da função.

O eixo também fica exatamente no ponto médio entre duas raízes reais distintas:

$x_v=\frac{x_1+x_2}{2}.$

As três formas algébricas

A mesma função pode aparecer em formas que destacam informações diferentes.

Forma geral

$f(x)=ax^2+bx+c.$

Evidencia os coeficientes, a concavidade e o intercepto $(0,c)$.

Forma fatorada

Quando existem raízes reais $x_1$ e $x_2$:

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).$

Evidencia os zeros. Se a raiz é dupla, escrevemos $f(x)=a(x-x_1)^2$.

Forma canônica

$f(x)=a(x-x_v)^2+y_v.$

Evidencia o vértice e facilita a leitura do máximo ou mínimo e da imagem.

Por exemplo,

$x^2-6x+5=(x-1)(x-5)=(x-3)^2-4.$

As três expressões descrevem a mesma parábola. A primeira mostra $c=5$; a segunda, raízes 1 e 5; a terceira, vértice $(3,-4)$.

Interceptos e discriminante

O intercepto vertical é imediato:

$f(0)=c.$

Os interceptos horizontais resolvem

$ax^2+bx+c=0.$

O discriminante $\Delta=b^2-4ac$ indica quantos encontros existem com o eixo $x$:

• $\Delta>0$: duas raízes reais distintas e dois interceptos;
• $\Delta=0$: uma raiz real dupla; a parábola toca o eixo no vértice;
• $\Delta<0$: nenhuma raiz real; a parábola não encontra o eixo.

Os métodos para calcular as raízes — fatoração, completamento de quadrados e fórmula resolutiva — estão desenvolvidos em Equação do segundo grau. Aqui, a raiz interessa principalmente como ponto do gráfico e limite entre intervalos de sinal.

Como esboçar uma parábola

Considere $f(x)=-x^2+4x+5$.

1. Concavidade: $a=-1<0$, então abre para baixo.
2. Eixo: $x_v=-4/(2\cdot-1)=2$.
3. Vértice: $y_v=f(2)=-4+8+5=9$, então $V=(2,9)$.
4. Intercepto vertical: $(0,5)$.
5. Zeros: $-x^2+4x+5=0$, equivalendo a $x^2-4x-5=0$, cujas raízes são $-1$ e $5$.

Os pontos $(-1,0)$ e $(5,0)$ são simétricos em relação a $x=2$. O ponto $(0,5)$ tem como espelho $(4,5)$. Com esses elementos, traçamos uma curva suave e simétrica.

Uma tabela também ajuda, mas escolher entradas simétricas ao redor de $x_v$ produz uma verificação mais eficiente.

Crescimento e decrescimento

O vértice divide o comportamento da função.

Se $a>0$:

• a função decresce para $x<x_v$;
• atinge o mínimo em $x=x_v$;
• cresce para $x>x_v$.

Se $a<0$, ocorre o inverso: cresce antes do vértice e decresce depois dele.

Uma função quadrática não possui taxa de variação constante. Para passos iguais em $x$, as primeiras diferenças das saídas mudam; em tabelas com passos constantes, as segundas diferenças são constantes. Essa é uma forma de distinguir o padrão quadrático do padrão afim.

Domínio e imagem

Sem restrição contextual:

$D_f=\mathbb{R}.$

A imagem depende do vértice e da concavidade:

• se $a>0$, $\operatorname{Im}(f)=[y_v,+\infty)$;
• se $a<0$, $\operatorname{Im}(f)=(-\infty,y_v]$.

Para $f(x)=(x-2)^2-7$, o vértice é $(2,-7)$ e a parábola abre para cima. Portanto,

$\operatorname{Im}(f)=[-7,+\infty).$

Em um modelo válido apenas para $0\le x\le10$, domínio e imagem devem ser recalculados nesse intervalo; não basta usar automaticamente toda a parábola.

Estudo do sinal

O estudo do sinal pergunta onde o gráfico está acima, sobre ou abaixo do eixo horizontal.

Considere $f(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. Como $a>0$ e as raízes são 2 e 3:

• $f(x)>0$ para $x<2$ ou $x>3$;
• $f(x)=0$ em $x=2$ e $x=3$;
• $f(x)<0$ para $2<x<3$.

Se $a<0$, os sinais se invertem. Se não há raízes reais, o sinal não muda: será sempre o mesmo sinal de $a$. Isso conecta gráfico, fatoração e Inequações.

Máximo e mínimo em problemas

Um terreno retangular encosta em um muro e dispõe de 40 m de cerca para os outros três lados. Se $x$ é a largura perpendicular ao muro, o lado paralelo mede $40-2x$. A área é

$A(x)=x(40-2x)=-2x^2+40x.$

O contexto exige $0<x<20$. Como $a=-2<0$, há um máximo no vértice:

$x_v=-\frac{40}{2(-2)}=10.$

Então o outro lado mede $40-2(10)=20$ e

$A(10)=10\cdot20=200\text{ m}^2.$

A resposta completa não é apenas “10”: as dimensões são 10 m por 20 m, e a área máxima é 200 m².

Encontrando a função pelo vértice e um ponto

Uma parábola tem vértice $(2,-3)$ e passa por $(4,5)$. Use a forma canônica:

$f(x)=a(x-2)^2-3.$

Substituindo $(4,5)$:

$5=a(4-2)^2-3,$

$8=4a\Rightarrow a=2.$

Logo,

$f(x)=2(x-2)^2-3.$

O vértice sozinho não determina uma única parábola: ainda é necessário conhecer $a$ ou outro ponto.

Erros frequentes

• Esquecer a condição $a\ne0$.
• Confundir coeficiente $c$ com raiz da função.
• Usar $x_v=-b/(2a)$ e não calcular $y_v=f(x_v)$.
• Dizer que $x_v$ é o máximo ou mínimo; o valor extremo é $y_v$ e ocorre em $x_v$.
• Determinar a concavidade pelo sinal de $b$ em vez do sinal de $a$.
• Achar que parábola mais estreita possui domínio menor.
• Aplicar a fórmula das raízes quando a pergunta pede apenas concavidade ou vértice.
• Desenhar a parábola sem respeitar o eixo de simetria.
• Ignorar que $\Delta<0$ significa ausência de zeros reais, não ausência de função.
• Desconsiderar as restrições do contexto em problemas de máximo ou mínimo.

Síntese

• Função quadrática tem forma $f(x)=ax^2+bx+c$, com $a\ne0$.
• Seu gráfico é uma parábola; o sinal de $a$ determina a concavidade.
• O eixo é $x=-b/(2a)$ e o vértice é $(x_v,f(x_v))$.
• A forma geral evidencia coeficientes; a fatorada, raízes; a canônica, vértice.
• O discriminante indica se há dois, um ou nenhum intercepto horizontal real.
• O vértice fornece mínimo quando $a>0$ e máximo quando $a<0$.
• Domínio natural é $\mathbb{R}$; a imagem começa ou termina em $y_v$.
• Raízes e concavidade permitem estudar o sinal.
• Em aplicações, unidades e domínio contextual fazem parte da resposta.

Próximos passos

A trilha segue para Função exponencial e logaritmos, em que a variação passa a ser multiplicativa. Antes disso, revise Equação do segundo grau se ainda houver dificuldade em determinar raízes.

Referências

• Base Nacional Comum Curricular — MEC
• Algebra and Trigonometry 2e: Quadratic Functions — OpenStax
• College Algebra 2e: Chapter 5 Key Concepts — OpenStax