Triângulos

Elementos e notação

Em $\triangle ABC$, os pontos $A$, $B$ e $C$ são os vértices; $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ e $\overline{CA}$ são os lados; e $\angle A$, $\angle B$ e $\angle C$ são os ângulos internos. O lado $BC$ é oposto ao vértice $A$, e assim sucessivamente.

Marcas iguais no desenho indicam medidas iguais. A aparência, sozinha, não prova igualdade, perpendicularidade ou paralelismo. Revise Fundamentos da geometria plana e Ângulos quando necessário.

Classificação por lados e por ângulos

Quanto aos lados

Tipo	Propriedade
Equilátero	três lados congruentes
Isósceles	pelo menos dois lados congruentes
Escaleno	três lados com medidas diferentes

Na definição inclusiva, todo equilátero também satisfaz a condição de ser isósceles. Em exercícios escolares, as classes às vezes são apresentadas separadamente; observe a convenção adotada no enunciado.

Quanto aos ângulos

Tipo	Propriedade
Acutângulo	três ângulos agudos
Retângulo	um ângulo reto
Obtusângulo	um ângulo obtuso

Como os ângulos internos somam $180^\circ$, um triângulo não pode ter dois ângulos retos nem dois obtusos. No triângulo retângulo, os lados que formam o ângulo reto são os catetos; o lado oposto é a hipotenusa.

Quando três medidas formam um triângulo?

Cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois. Para comprimentos positivos $a$, $b$ e $c$:

$a<b+c,\qquad b<a+c,\qquad c<a+b.$

Se $a$ e $b$ já estão fixos, a condição para o terceiro lado pode ser condensada em

$|a-b|<c<a+b.$

Exemplo

As medidas 4, 7 e 10 formam um triângulo, pois o maior lado satisfaz $10<4+7$. Já 3, 5 e 8 não formam: $8=3+5$ deixa os segmentos alinhados, produzindo uma figura degenerada, sem região interna.

Atalho seguro: com três comprimentos positivos ordenados, basta comparar o maior com a soma dos outros dois.

Soma dos ângulos internos

Em qualquer triângulo plano,

$A+B+C=180^\circ.$

Uma justificativa consiste em traçar, por um vértice, uma paralela ao lado oposto. Os outros dois ângulos aparecem nessa reta por relações de alternos internos; juntos ao ângulo do vértice, completam um ângulo raso.

Exemplo algébrico

Se os ângulos medem $(2x+10)^\circ$, $(3x-5)^\circ$ e $(x+25)^\circ$, então

$2x+10+3x-5+x+25=180.$

Logo, $6x+30=180$, portanto $x=25$. Os ângulos são $60^\circ$, $70^\circ$ e $50^\circ$; a soma final confirma o resultado. Para revisar a resolução, consulte Equação do primeiro grau.

Ângulo externo

Ao prolongar um lado, o ângulo externo e o interno adjacente são suplementares. Além disso, a medida do ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes:

$E=A+B.$

Se os ângulos internos afastados medem $48^\circ$ e $67^\circ$, o externo mede $115^\circ$. O interno adjacente mede $65^\circ$, pois $115^\circ+65^\circ=180^\circ$.

Propriedades dos isósceles e equiláteros

Em um triângulo isósceles, ângulos opostos a lados congruentes também são congruentes. A recíproca vale: se dois ângulos são iguais, seus lados opostos são iguais.

Se o ângulo do vértice de um isósceles mede $44^\circ$, os ângulos da base são iguais e somam $136^\circ$; cada um mede $68^\circ$. No equilátero, os três ângulos são iguais e, portanto, cada um mede $60^\circ$.

Congruência: mesma forma e mesmo tamanho

Dois triângulos são congruentes quando podem coincidir exatamente por movimentos rígidos. A ordem da escrita registra as correspondências: em $\triangle ABC\cong\triangle DEF$, $A$ corresponde a $D$, $B$ a $E$ e $C$ a $F$.

Não é necessário medir tudo. Alguns conjuntos de dados garantem a congruência:

• LLL: três lados correspondentes;
• LAL: dois lados e o ângulo compreendido entre eles;
• ALA: dois ângulos e o lado compreendido;
• AAL: dois ângulos e um lado correspondente.

Conhecer somente três ângulos (AAA) não garante congruência: triângulos de tamanhos diferentes podem ter os mesmos ângulos. Esse caso pertence ao estudo de semelhança.

Como organizar uma demonstração

1. registre as informações dadas e as marcas do desenho;
2. identifique lados e ângulos correspondentes;
3. escolha um caso válido de congruência;
4. conclua apenas depois que a correspondência estiver estabelecida.

Segmentos e pontos notáveis

Construção	Definição	Encontro das três
Mediana	liga um vértice ao ponto médio do lado oposto	baricentro
Altura	parte do vértice e é perpendicular ao lado oposto ou a seu prolongamento	ortocentro
Bissetriz interna	divide um ângulo interno em duas partes iguais	incentro
Mediatriz	é perpendicular a um lado em seu ponto médio	circuncentro

O baricentro e o incentro ficam sempre no interior. Em um triângulo obtusângulo, ortocentro e circuncentro podem ficar fora; no retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa.

Não confunda mediana, que sai de um vértice, com mediatriz, que não precisa passar por vértice algum.

Estratégia para questões

1. traduza marcas e palavras em propriedades;
2. classifique o triângulo apenas se isso ajudar;
3. verifique a condição de existência quando houver comprimentos;
4. use $180^\circ$, ângulo externo ou propriedade do isósceles para medidas angulares;
5. em congruência, respeite a ordem dos vértices;
6. confira se comprimentos são positivos e ângulos internos estão entre $0^\circ$ e $180^\circ$.

Erros frequentes

• confiar na escala aparente do desenho;
• aceitar igualdade na desigualdade triangular;
• chamar qualquer perpendicular de altura sem verificar se parte de um vértice;
• usar AAA como caso de congruência;
• trocar a correspondência ao escrever triângulos congruentes;
• aplicar Pitágoras em um triângulo sem ângulo reto informado.

Pratique

1. Classifique, quanto aos lados e aos ângulos, um triângulo com lados 5, 5 e 6 e ângulos $55^\circ$, $55^\circ$ e $70^\circ$.
2. Para quais valores inteiros de $x$ os comprimentos 6, 9 e $x$ formam um triângulo?
3. Em um isósceles, o ângulo do vértice mede $38^\circ$. Determine os ângulos da base.
4. Um ângulo externo mede $132^\circ$ e um dos internos não adjacentes mede $57^\circ$. Determine o outro.
5. Explique por que lados 4, 6 e 9 determinam um triângulo, mas 4, 5 e 9 não.

Respostas comentadas

1. Isósceles e acutângulo: há dois lados iguais e todos os ângulos são menores que $90^\circ$.
2. $|9-6|<x<9+6$, então $3<x<15$; os inteiros são 4 a 14.
3. Os dois ângulos iguais somam $180^\circ-38^\circ=142^\circ$; cada um mede $71^\circ$.
4. $132^\circ=57^\circ+x$, logo $x=75^\circ$.
5. $9<4+6$, mas $9=4+5$ produz alinhamento, não um triângulo.

Síntese

• três pontos não colineares e três segmentos formam um triângulo;
• os lados obedecem à desigualdade triangular;
• os ângulos internos somam $180^\circ$;
• o ângulo externo soma os dois internos não adjacentes;
• congruência exige dados suficientes e correspondência correta;
• medianas, alturas, bissetrizes e mediatrizes têm construções e centros distintos.

Próximos passos

Na sequência, Quadriláteros e polígonos amplia essas ideias para figuras com mais lados, vértices e ângulos.