Perímetro e área: fórmulas e exemplos

Figuras planas com bordas luminosas e superfícies quadriculadas

Perímetro e área descrevem aspectos diferentes de uma figura plana. O perímetro mede o comprimento do contorno; a área mede a superfície ocupada. Distinguir essas grandezas é o primeiro passo para escolher dados, fórmulas e unidades corretamente.

Ideia central: contorno é medido com unidades de comprimento; superfície é medida com unidades quadradas. Duas figuras podem ter o mesmo perímetro e áreas diferentes — ou a mesma área e perímetros diferentes.

Perímetro mede o contorno

O perímetro de um polígono é a soma dos comprimentos de todos os lados:

$P=l_1+l_2+\cdots+l_n.$

Se um terreno tem lados de 8 m, 5 m, 7 m e 4 m, então

$P=8+5+7+4=24\text{ m}.$

O resultado permanece em unidade linear: milímetro, centímetro, metro ou quilômetro. Situações com cercas, rodapés, molduras e voltas ao redor de uma região costumam pedir perímetro.

Em um polígono regular de $n$ lados com lado $l$ ,

$P=n\cdot l.$

Um hexágono regular de lado 4 cm tem

$P=6\cdot4=24\text{ cm}.$

Área mede a superfície

Área é a quantidade de unidades quadradas necessárias para cobrir uma região sem lacunas nem sobreposições. Um quadrado de lado 1 cm define uma unidade de $1\text{ cm}^2$ .

A mesma malha destaca o percurso do perímetro e as unidades quadradas da área

Em uma malha, conte:

segmentos de unidade ao redor da figura para obter o perímetro;
quadrados de unidade dentro da figura para obter a área.

Por isso, uma medida como $18\text{ cm}$ não pode ser resposta de área, e $18\text{ cm}^2$ não pode ser resposta de perímetro. Para aplicar essa distinção a formas curvas, consulte Circunferência e círculo.

Quadrado e retângulo

Para um quadrado de lado $l$ :

$P=4l \qquad\text{e}\qquad A=l^2.$

Se $l=6\text{ cm}$ ,

$P=24\text{ cm} \qquad\text{e}\qquad A=36\text{ cm}^2.$

Para um retângulo de base $b$ e altura $h$ :

$P=2b+2h=2(b+h)$

$A=b\cdot h.$

Um retângulo de 9 m por 4 m tem

$P=2(9+4)=26\text{ m}$

$A=9\cdot4=36\text{ m}^2.$

Observe que somar base e altura não produz área. O produto $b\cdot h$ conta linhas e colunas de unidades quadradas.

Paralelogramo

Um paralelogramo pode ser recortado em uma extremidade e reorganizado como um retângulo de mesma base e mesma altura. Logo,

$A=b\cdot h.$

A altura é a distância perpendicular entre as bases, não o comprimento do lado inclinado.

Se $b=12\text{ cm}$ e $h=5\text{ cm}$ ,

$A=12\cdot5=60\text{ cm}^2.$

Para o perímetro, são necessários os comprimentos da base e do lado oblíquo. Se esse lado mede 7 cm,

$P=2(12+7)=38\text{ cm}.$

Triângulo

Dois triângulos congruentes podem formar um paralelogramo de base $b$ e altura $h$ . Cada triângulo ocupa metade dessa área:

$A=\frac{b\cdot h}{2}.$

Retângulo, paralelogramo, triângulo, trapézio e losango com suas medidas essenciais

Um triângulo de base 14 cm e altura 8 cm tem

$A=\frac{14\cdot8}{2}=56\text{ cm}^2.$

A altura parte do vértice oposto e encontra a reta da base em ângulo reto. Em um triângulo obtusângulo, esse encontro pode ocorrer no prolongamento da base. Para revisar lados, alturas e classificações, consulte Triângulos.

O perímetro continua sendo a soma dos três lados:

$P=a+b+c.$

Conhecer apenas base e altura geralmente basta para a área, mas não para o perímetro.

Trapézio

No trapézio, as bases paralelas têm medidas $B$ e $b$ , e $h$ é a distância perpendicular entre elas. Sua área é

$A=\frac{(B+b)h}{2}.$

A expressão multiplica a média das bases pela altura:

$A=\left(\frac{B+b}{2}\right)h.$

Para $B=13\text{ m}$ , $b=7\text{ m}$ e $h=6\text{ m}$ ,

$A=\frac{(13+7)6}{2}=60\text{ m}^2.$

O perímetro exige os quatro lados. As duas bases e a altura, sozinhas, não determinam necessariamente os lados oblíquos.

Losango

As diagonais de um losango são perpendiculares e dividem a figura em quatro triângulos. Se as diagonais medem $D$ e $d$ ,

$A=\frac{D\cdot d}{2}.$

Com $D=16\text{ cm}$ e $d=10\text{ cm}$ ,

$A=\frac{16\cdot10}{2}=80\text{ cm}^2.$

Como os quatro lados do losango têm a mesma medida $l$ ,

$P=4l.$

As diagonais permitem calcular a área, mas não devem ser somadas para formar o perímetro.

Quadro de fórmulas

Figura	Perímetro	Área
Quadrado	$4l$	$l^2$
Retângulo	$2(b+h)$	$bh$
Paralelogramo	soma dos quatro lados	$bh$
Triângulo	$a+b+c$	$\dfrac{bh}{2}$
Trapézio	soma dos quatro lados	$\dfrac{(B+b)h}{2}$
Losango	$4l$	$\dfrac{Dd}{2}$

Não use a tabela como uma lista isolada. Identifique primeiro quais segmentos são lados, bases, alturas ou diagonais.

Figuras compostas

Uma figura composta pode ser dividida em regiões conhecidas ou tratada como uma figura maior da qual uma parte foi retirada.

Figura em formato de L resolvida por soma de retângulos e por retirada de um recorte

Considere uma placa em formato de L obtida de um retângulo de $10\text{ m}\times8\text{ m}$ com um recorte de $4\text{ m}\times3\text{ m}$ :

$A_{\text{maior}}=10\cdot8=80\text{ m}^2,$

$A_{\text{recorte}}=4\cdot3=12\text{ m}^2,$

$A_{\text{L}}=80-12=68\text{ m}^2.$

Para o perímetro, percorra apenas a borda externa da figura final. Não some linhas internas usadas para decompor a área.

Lados ausentes podem ser deduzidos

Em figuras ortogonais, deslocamentos horizontais para a direita e para a esquerda se equilibram; o mesmo vale para cima e para baixo. Essa observação permite encontrar lados não indicados.

Se a largura total é 10 m e uma parte horizontal mede 4 m, o trecho complementar mede

$10-4=6\text{ m}.$

Antes de calcular o perímetro, marque todos os segmentos do contorno. Essa etapa evita esquecer reentrâncias.

Conversão de unidades de área

Ao converter comprimentos, o fator é linear. Ao converter áreas, o fator deve ser elevado ao quadrado:

$1\text{ m}=100\text{ cm}$

mas

$1\text{ m}^2=(100\text{ cm})^2=10.000\text{ cm}^2.$

Assim,

$2{,}5\text{ m}^2=25.000\text{ cm}^2.$

Para revisar o sistema métrico e outras conversões, consulte Unidades de medida e conversões.

Mesmo perímetro, áreas diferentes

Compare dois retângulos:

Dimensões	Perímetro	Área
$1\text{ m}\times5\text{ m}$	$12\text{ m}$	$5\text{ m}^2$
$2\text{ m}\times4\text{ m}$	$12\text{ m}$	$8\text{ m}^2$

O perímetro é o mesmo, mas as áreas são diferentes. Portanto, não existe uma fórmula universal que determine a área apenas a partir do perímetro sem informações adicionais sobre a forma.

Também é possível manter a área e alterar o perímetro. Retângulos de $1\times12$ e $3\times4$ têm área 12, porém perímetros 26 e 14, respectivamente.

Escala e variação das medidas

Se todos os comprimentos de uma figura são multiplicados por um fator $k$ :

o perímetro é multiplicado por $k$ ;
a área é multiplicada por $k^2$ .

Ao dobrar os lados de um quadrado,

$P'=2P$

$A'=2^2A=4A.$

Essa relação é aprofundada em Semelhança de figuras.

Como o tema aparece em provas

Os enunciados costumam apresentar plantas, malhas, terrenos, pisos, pinturas, molduras ou materiais vendidos por comprimento e por área. O desafio frequentemente está em modelar a região, não em executar a multiplicação.

Pergunte:

O problema quer cercar, contornar ou dar uma volta? Use perímetro.
Quer cobrir, pintar, revestir ou ocupar uma superfície? Use área.
Há recortes ou sobreposições? Decomponha a figura.
Todas as medidas usam a mesma unidade?
Existe desperdício, margem ou quantidade por embalagem? Aplique isso depois da área geométrica.

Exemplo integrado

Um jardim retangular mede 12 m por 7 m. Dentro dele haverá um canteiro retangular de 4 m por 3 m que não receberá grama. O jardim será cercado, com exceção de um portão de 2 m.

Área que receberá grama:

$A=12\cdot7-4\cdot3=84-12=72\text{ m}^2.$

Comprimento de cerca:

$P=2(12+7)-2=38-2=36\text{ m}.$

O recorte interno altera a área coberta, mas não altera o contorno externo. Já o portão reduz o material usado na cerca, mas não muda a área do jardim.

Erros frequentes

Confundir contorno com superfície.
Escrever unidade linear em uma área ou unidade quadrada em um perímetro.
Somar base e altura para calcular área de retângulo.
Usar o lado inclinado como altura de paralelogramo ou triângulo.
Esquecer a divisão por 2 no triângulo, trapézio ou losango.
Somar apenas as dimensões indicadas e ignorar lados repetidos.
Contar linhas internas de uma decomposição como parte do perímetro.
Converter $\text{m}^2$ para $\text{cm}^2$ usando apenas o fator 100.
Supor que figuras de mesmo perímetro têm a mesma área.
Arredondar medidas intermediárias sem necessidade.

Roteiro de resolução

Faça um esboço e marque as medidas.
Identifique se a grandeza pedida é comprimento ou superfície.
Padronize as unidades antes das operações.
Encontre lados ou alturas ausentes.
Escolha uma fórmula ou decomposição justificável.
Calcule cada região separadamente quando necessário.
Registre a unidade correta.
Confira se a ordem de grandeza faz sentido.

Síntese para revisão

Perímetro é a soma dos lados e usa unidade linear.
Área mede cobertura e usa unidade quadrada.
Retângulos e paralelogramos usam $A=bh$ .
Triângulos usam $A=bh/2$ .
Trapézios usam $A=(B+b)h/2$ .
Losangos usam $A=Dd/2$ .
Figuras compostas são resolvidas por soma, diferença ou reorganização.
A altura deve ser perpendicular à base.
Conversões de área elevam o fator de comprimento ao quadrado.
Escalar lados por $k$ escala perímetro por $k$ e área por $k^2$ .

Próximos passos

Continue em Semelhança de figuras para estudar como ampliações e reduções afetam comprimentos e áreas. Depois, Teorema de Pitágoras permitirá determinar medidas ausentes em triângulos retângulos.