Geometria analítica: pontos, retas e distância

Plano cartesiano com pontos, uma reta, variações horizontal e vertical e uma circunferência com centro e raio

A geometria analítica descreve objetos geométricos por coordenadas e equações. Um ponto vira um par ordenado; a inclinação de uma reta vira uma razão; uma circunferência vira o conjunto de pontos que satisfazem uma equação. O objetivo não é apenas calcular, mas transitar entre desenho, linguagem geométrica e álgebra.

Ideia central: coordenadas transformam relações geométricas em operações algébricas, e o desenho ajuda a interpretar o resultado dessas operações.

Plano cartesiano e pares ordenados

O plano cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares:

eixo x, horizontal, chamado eixo das abscissas;
eixo y, vertical, chamado eixo das ordenadas;
origem O=(0,0), encontro dos eixos.

Um ponto P=(x,y) é localizado primeiro pela coordenada horizontal x e depois pela vertical y. Trocar a ordem normalmente produz outro ponto: (2,-3)≠(-3,2).

Região	Sinal de `x`	Sinal de `y`
1º quadrante	positivo	positivo
2º quadrante	negativo	positivo
3º quadrante	negativo	negativo
4º quadrante	positivo	negativo

Pontos sobre os eixos não pertencem a quadrante algum. Se x=0, o ponto está no eixo y; se y=0, está no eixo x. Antes de calcular, confira sempre a ordem das coordenadas e a posição esperada no plano.

Distância entre dois pontos

Considere A=(x_1,y_1) e B=(x_2,y_2). As variações horizontal e vertical são

$\Delta x=x_2-x_1 \quad\text{e}\quad \Delta y=y_2-y_1.$

Essas variações são os catetos de um triângulo retângulo e AB é a hipotenusa. Pelo Teorema de Pitágoras:

$d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$

Exemplo. Para A=(-2,1) e B=(4,9):

$\Delta x=4-(-2)=6, \qquad \Delta y=9-1=8,$

$d=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10.$

Como as diferenças são elevadas ao quadrado, inverter a ordem dos pontos não altera a distância.

Ponto médio

O ponto médio de AB faz a média das coordenadas correspondentes:

$M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).$

Para A=(-2,1) e B=(4,9):

$M=\left(\frac{-2+4}{2},\frac{1+9}{2}\right)=(1,5).$

Dois pontos formam um triângulo retângulo cujos catetos são as variações das coordenadas e cujo segmento contém o ponto médio

Uma conferência geométrica simples é verificar se M está entre A e B e se AM=MB.

Baricentro de um triângulo

O baricentro é o encontro das medianas de um triângulo. Para vértices A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B) e C=(x_C,y_C):

$G=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right).$

No triângulo de vértices (0,0), (6,0) e (0,3):

$G=\left(\frac{0+6+0}{3},\frac{0+0+3}{3}\right)=(2,1).$

Não confunda baricentro com ponto médio: aqui são três vértices e o denominador é 3.

Coeficiente angular da reta

O coeficiente angular m mede a inclinação de uma reta não vertical:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{\Delta y}{\Delta x}, \qquad x_2\ne x_1.$

m>0: a reta sobe da esquerda para a direita;
m<0: a reta desce;
m=0: a reta é horizontal;
reta vertical: Δx=0, portanto m não é definido.

Para A=(-1,2) e B=(3,10):

$m=\frac{10-2}{3-(-1)}=\frac{8}{4}=2.$

Isso significa que, a cada aumento de uma unidade em x, y aumenta duas unidades. A interpretação como taxa de variação é aprofundada em Função afim.

Reta crescente relaciona variação vertical, variação horizontal, coeficiente angular e equações equivalentes

Equações da reta

Uma reta pode aparecer em formas equivalentes. Escolha a forma que melhor aproveita os dados.

Forma reduzida

$y=mx+b,$

em que m é o coeficiente angular e b é a ordenada do ponto onde a reta cruza o eixo y.

Forma ponto-inclinação

Se conhecemos P=(x_0,y_0) e m:

$y-y_0=m(x-x_0).$

Exemplo. A reta de inclinação 3 que passa por P=(2,-1) satisfaz

$y-(-1)=3(x-2),$

$y+1=3x-6,$

$y=3x-7.$

Forma geral

$ax+by+c=0,$

com a e b não simultaneamente nulos. A forma geral também representa retas verticais. Por exemplo, x=4 equivale a x-4=0, mas não pode ser escrita como y=mx+b.

Reta determinada por dois pontos

Dados dois pontos distintos:

se x_1≠x_2, calcule m e use a forma ponto-inclinação;
se x_1=x_2, a reta é vertical e sua equação é x=x_1.

Para A=(1,2) e B=(4,8), m=2. Logo:

$y-2=2(x-1) \Rightarrow y=2x.$

Substituir os dois pontos na equação final é uma verificação rápida e eficaz.

Interseções com os eixos

Na forma geral ax+by+c=0:

para encontrar a interseção com o eixo x, faça y=0;
para encontrar a interseção com o eixo y, faça x=0.

Na reta 2x+3y-12=0, temos:

$y=0 \Rightarrow x=6,$

$x=0 \Rightarrow y=4.$

Portanto, as interseções são (6,0) e (0,4).

Posições relativas entre retas

Para retas não verticais com coeficientes m_1 e m_2:

paralelas distintas: m_1=m_2 e interceptos diferentes;
coincidentes: mesma reta escrita de maneiras equivalentes;
concorrentes: coeficientes diferentes e um ponto de interseção;
perpendiculares: m_1m_2=-1.

O critério do produto -1 não deve ser aplicado diretamente quando uma das retas é vertical. Nesse caso, ela é perpendicular a uma reta horizontal.

Comparação entre retas concorrentes, paralelas e perpendiculares por seus coeficientes angulares

O ponto de encontro de duas retas é a solução do sistema formado por suas equações. Consulte Sistemas de equações para revisar os métodos algébricos.

Ângulo entre duas retas

Quando 1+m_1m_2≠0, o menor ângulo θ entre duas retas satisfaz

$\tan\theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|.$

Se m_1m_2=-1, o denominador se anula e as retas formam 90°. Em questões básicas, normalmente basta reconhecer paralelismo ou perpendicularidade sem calcular o ângulo.

Distância de um ponto a uma reta

Para o ponto P=(x_0,y_0) e a reta ax+by+c=0, a menor distância é perpendicular à reta e vale

$d(P,r)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Exemplo. A distância de P=(1,2) à reta 3x+4y-20=0 é

d=\frac{|3\cdot1+4\cdot2-20|}{\sqrt{3^2+4^2}} =\frac{|-9|}{5}=\frac95.

O módulo é indispensável porque distância nunca é negativa.

Alinhamento de três pontos

Três pontos são colineares quando pertencem à mesma reta. Uma forma de verificar é comparar coeficientes angulares, cuidando das retas verticais. Uma forma geral usa o determinante:

\begin{vmatrix} x_A & y_A & 1\\ x_B & y_B & 1\\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix}=0.

Se o determinante for diferente de zero, os pontos formam um triângulo.

Área de triângulo por coordenadas

Para três vértices, o módulo do mesmo determinante fornece o dobro da área:

A=\frac12\left| \begin{vmatrix} x_A & y_A & 1\\ x_B & y_B & 1\\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix} \right|.

Para (1,1), (5,1) e (3,4):

$A=\frac12|1(1-4)+5(4-1)+3(1-1)|=\frac12|12|=6.$

Área zero confirma que os três pontos são colineares.

Equação da circunferência

Uma circunferência de centro C=(h,k) e raio r reúne os pontos P=(x,y) cuja distância ao centro é r. Aplicando a fórmula da distância:

$\boxed{(x-h)^2+(y-k)^2=r^2}.$

Para centro (2,-3) e raio 5:

$\boxed{(x-2)^2+(y+3)^2=25}.$

O sinal dentro do parêntese é oposto à coordenada do centro: (x+4)² indica h=-4.

Circunferência no plano cartesiano com centro h k, ponto x y e raio r associados à equação reduzida

Para recuperar centro e raio da forma geral, complete quadrados. Considere:

$x^2+y^2-4x+6y-12=0.$

Agrupando e transpondo:

$x^2-4x+y^2+6y=12.$

Somamos 4 e 9 aos dois lados:

$(x-2)^2+(y+3)^2=25.$

Logo, o centro é (2,-3) e o raio é 5. A geometria da circunferência é estudada em Circunferência e círculo.

Um roteiro para resolver problemas

Faça um esboço e marque os pontos conhecidos.
Identifique o que se pede: distância, ponto, reta, área ou circunferência.
Escolha uma representação que use diretamente os dados.
Preserve parênteses ao subtrair coordenadas negativas.
Resolva a álgebra e substitua o resultado para conferir.
Volte ao desenho e avalie sinais, quadrante e ordem de grandeza.

Erros frequentes

trocar a ordem de x e y no par ordenado;
esquecer os parênteses ao subtrair uma coordenada negativa;
usar soma na distância ou diferença no ponto médio;
dividir por zero ao calcular a inclinação de uma reta vertical;
concluir que retas de mesmo coeficiente são necessariamente coincidentes;
esquecer o módulo na distância entre ponto e reta ou na área;
ler o centro da circunferência com os mesmos sinais dos parênteses;
confundir circunferência, que não é gráfico de uma única função y=f(x), com uma parábola.

Síntese para revisão

Relação	Fórmula
distância entre pontos	`√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]`
ponto médio	`((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)`
coeficiente angular	`(y₂-y₁)/(x₂-x₁)`
reta por ponto e inclinação	`y-y₀=m(x-x₀)`
reta geral	`ax+by+c=0`
distância ponto–reta	`
circunferência	`(x-h)²+(y-k)²=r²`

Próximos passos

Com a unidade de Geometria e grandezas concluída, siga para Leitura de tabelas. A organização de pares, eixos e escalas desenvolvida aqui será útil para interpretar dados e, depois, gráficos estatísticos.