Quadriláteros e polígonos: propriedades

Composição abstrata de quadriláteros e polígonos coloridos

Polígonos organizam contornos feitos apenas de segmentos. Plantas, mosaicos, estruturas e representações digitais usam essas figuras, mas resolver uma questão exige mais do que reconhecer uma silhueta: é preciso ler lados, ângulos, diagonais e relações de paralelismo.

Ideia central: o número de lados nomeia o polígono; suas propriedades determinam a família a que ele pertence.

O que é um polígono?

Um polígono é uma figura plana fechada formada por uma sequência de segmentos. Em um polígono simples, lados não consecutivos não se cruzam. Cada encontro de dois lados consecutivos é um vértice, e a abertura interna nesse vértice é um ângulo interno.

Um segmento que une dois vértices não consecutivos é uma diagonal. Revise Fundamentos da geometria plana para segmentos, paralelismo e perpendicularidade.

Não são polígonos:

figuras abertas;
contornos com trechos curvos;
conjuntos de segmentos que não formam uma única linha poligonal fechada.

Convexo ou côncavo

Em um polígono convexo, o segmento entre quaisquer dois pontos da figura permanece nela; todos os ângulos internos são menores que $180^\circ$ . Em um polígono côncavo, existe uma reentrância e ao menos um ângulo interno é maior que $180^\circ$ .

Polígono convexo e polígono côncavo com uma diagonal destacada

Essa distinção importa porque a triangulação direta a partir de um vértice é visualmente mais simples nos convexos. As fórmulas desta página serão aplicadas a polígonos simples.

Nomes conforme o número de lados

Polígonos de três a dez lados organizados por nome

Lados	Nome	Lados	Nome
3	triângulo	7	heptágono
4	quadrilátero	8	octógono
5	pentágono	9	eneágono ou nonágono
6	hexágono	10	decágono

Para quantidades maiores, é comum dizer “polígono de $n$ lados”. O estudo específico dos três lados está em Triângulos.

Polígonos regulares

Um polígono é regular quando é equilátero e equiângulo ao mesmo tempo: todos os lados e todos os ângulos internos são congruentes. Ter somente lados iguais não basta, em geral, para garantir regularidade; ter somente ângulos iguais também não.

Um quadrado é regular. Um retângulo não quadrado é equiângulo, mas não equilátero; um losango não quadrado é equilátero, mas não equiângulo.

Quadriláteros: uma hierarquia de propriedades

Todo quadrilátero tem quatro lados, quatro vértices, duas diagonais e soma interna de $360^\circ$ . As famílias notáveis são definidas por condições adicionais.

Hierarquia dos quadriláteros a partir de paralelismo, ângulos retos e lados congruentes

Trapézio

Tem um par de lados paralelos, chamados bases. Há duas convenções:

inclusiva: possui pelo menos um par de lados paralelos; paralelogramos também são trapézios;
exclusiva: possui exatamente um par; paralelogramos ficam fora da classe.

Verifique a definição adotada pela questão. No trapézio isósceles, os lados não paralelos são congruentes, os ângulos de cada base são congruentes e as diagonais são congruentes.

Paralelogramo

Tem dois pares de lados opostos paralelos. Consequentemente:

lados opostos são congruentes;
ângulos opostos são congruentes;
ângulos consecutivos são suplementares;
as diagonais se cortam nos respectivos pontos médios.

Retângulo

É um paralelogramo com quatro ângulos retos. Além das propriedades anteriores, suas diagonais são congruentes.

Losango

É um paralelogramo com quatro lados congruentes. Suas diagonais são perpendiculares e bissetam os ângulos internos. Elas não precisam ter a mesma medida.

Quadrado

Tem quatro lados congruentes e quatro ângulos retos. Portanto, é simultaneamente retângulo e losango e herda as propriedades de ambos.

Cuidado: uma figura pode pertencer a várias classes. A classificação mais específica não apaga as classes mais gerais.

Deltoide

O deltoide, ou pipa, possui dois pares distintos de lados consecutivos congruentes. Em geral, uma diagonal é eixo de simetria, as diagonais são perpendiculares e apenas um par de ângulos opostos é congruente. Ele não é necessariamente paralelogramo.

Soma dos ângulos internos

De um vértice de um polígono convexo de $n$ lados, as diagonais o dividem em $n-2$ triângulos. Como cada triângulo soma $180^\circ$ :

$S=(n-2)\cdot180^\circ.$

Pentágono e hexágono triangulados a partir de um vértice

Exemplos

Em um octógono, $n=8$ :

$S=(8-2)\cdot180^\circ=1080^\circ.$

Se um polígono tem soma interna $1620^\circ$ , então

$1620=(n-2)\cdot180,$

logo $n-2=9$ e $n=11$ . Para revisar a manipulação algébrica, consulte Equação do primeiro grau.

Ângulos de um polígono regular

Em um polígono regular, os ângulos internos têm a mesma medida. Assim, cada ângulo interno mede

$I=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}.$

Em um hexágono regular:

$I=\frac{(6-2)\cdot180^\circ}{6}=120^\circ.$

Não use essa divisão em um polígono apenas equilátero ou apenas equiângulo sem que a igualdade necessária esteja garantida.

Ângulos externos e giro completo

Escolhendo um ângulo externo em cada vértice de um polígono convexo e percorrendo o contorno sempre no mesmo sentido, a soma é uma volta completa:

$E_1+E_2+\cdots+E_n=360^\circ.$

No polígono regular, todos são iguais:

$E=\frac{360^\circ}{n}.$

Como o interno e o externo adjacente são suplementares, $I+E=180^\circ$ . Se o ângulo externo de um polígono regular mede $24^\circ$ , então $n=360/24=15$ .

Quantidade de diagonais

De cada vértice partem diagonais para $n-3$ vértices: excluem-se o próprio vértice e os dois adjacentes. Isso conta cada diagonal duas vezes, uma por cada extremidade. Logo:

$D=\frac{n(n-3)}{2}.$

Um decágono possui

$D=\frac{10(10-3)}{2}=35$

diagonais. De um único vértice, porém, partem somente $10-3=7$ diagonais. Não confunda as duas perguntas.

Como reconhecer um quadrilátero

procure marcas de paralelismo, congruência e ângulo reto;
use apenas propriedades explicitadas ou demonstráveis;
identifique a família mais específica;
registre também as famílias gerais às quais ela pertence;
se aparecer “trapézio”, confirme a convenção do material.

Exemplo de dedução

Um paralelogramo com diagonais congruentes é um retângulo. Se, além disso, dois lados consecutivos são congruentes, todos os lados passam a ser congruentes; a figura é um quadrado.

Já diagonais congruentes, isoladamente, não provam que um quadrilátero qualquer seja retângulo: um trapézio isósceles também tem essa propriedade.

Erros frequentes

considerar uma figura aberta como polígono;
concluir que lados parecem paralelos porque o desenho sugere isso;
tratar quadrado, retângulo e losango como classes sem interseção;
aplicar a fórmula do ângulo individual a polígono não regular;
confundir diagonais totais com diagonais a partir de um vértice;
somar todos os ângulos externos desenhados sem manter o mesmo sentido de percurso;
usar fórmulas de área quando a questão pede apenas propriedades angulares.

Pratique

Calcule a soma interna de um dodecágono.
Determine cada ângulo interno e externo de um nonágono regular.
Quantas diagonais tem um octógono? Quantas partem de um vértice?
Um polígono regular tem ângulo externo de $30^\circ$ . Quantos lados ele possui?
Explique por que todo quadrado é retângulo, mas nem todo retângulo é quadrado.
Três ângulos de um quadrilátero medem $82^\circ$ , $97^\circ$ e $104^\circ$ . Determine o quarto.

Respostas comentadas

$(12-2)\cdot180^\circ=1800^\circ$ .
$I=140^\circ$ e $E=40^\circ$ .
$D=8(8-3)/2=20$ ; de um vértice partem 5.
$n=360/30=12$ .
O quadrado satisfaz os quatro ângulos retos do retângulo e acrescenta quatro lados iguais; um retângulo geral não exige essa igualdade.
$360^\circ-(82^\circ+97^\circ+104^\circ)=77^\circ$ .

Síntese

polígonos são contornos planos fechados formados por segmentos;
regular significa simultaneamente equilátero e equiângulo;
as classes de quadriláteros formam uma hierarquia;
a soma interna é $(n-2)\cdot180^\circ$ ;
a soma dos externos, no mesmo sentido, é $360^\circ$ ;
o total de diagonais é $n(n-3)/2$ .

Próximos passos

Continue em Perímetro e área para estudar medidas de contorno e superfície sem repetir a classificação desenvolvida aqui.