Sistemas de equações: métodos e exemplos resolvidos

Duas retas coloridas se cruzam em um ponto verde sobre um plano cartesiano

Um sistema reúne condições que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Quando há duas equações lineares e duas incógnitas, procuramos um par ordenado $(x,y)$ que satisfaça ambas.

Ideia central: resolver cada equação separadamente não basta. A solução pertence simultaneamente aos dois conjuntos de soluções.

De uma equação para um sistema

Na Equação do primeiro grau, uma incógnita podia ser determinada por uma condição. Agora duas grandezas desconhecidas se relacionam por duas condições:

$\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}$

O par $(4,3)$ é solução porque:

$4+3=7\quad\text{e}\quad4-3=1.$

A ordem importa: $(x,y)=(4,3)$ não é o mesmo que $(3,4)$ . Uma resposta só é válida depois de conferida nas duas equações originais.

Forma de um sistema linear 2 × 2

Um sistema de duas equações lineares pode ser escrito como

$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$

Os coeficientes são números conhecidos e, em cada equação, $a$ e $b$ não podem ser simultaneamente zero. O termo “linear” indica que as incógnitas aparecem com expoente 1, sem produtos como $xy$ nem potências como $x^2$ .

O significado gráfico

Cada equação linear em duas incógnitas representa uma reta. Resolver o sistema equivale a procurar pontos comuns às retas.

Três planos mostram retas concorrentes, paralelas e coincidentes

Uma solução: sistema possível e determinado

Duas retas concorrentes se cruzam uma vez. O ponto de interseção é a solução única.

Nenhuma solução: sistema impossível

Retas paralelas distintas nunca se encontram. As condições são incompatíveis.

Infinitas soluções: sistema possível e indeterminado

Equações equivalentes descrevem a mesma reta. Todos os pontos dessa reta satisfazem o sistema.

O gráfico fornece significado e ajuda a estimar a resposta. Porém, uma interseção com coordenadas fracionárias pode ser difícil de ler com exatidão; métodos algébricos resolvem essa limitação.

Método da substituição

Esse método é conveniente quando uma equação já deixa uma incógnita isolada ou permite isolá-la facilmente.

Resolva:

$\begin{cases}y=2x-1\\x+y=8\end{cases}$

Como $y$ vale $2x-1$ , substitua essa expressão na segunda equação:

$x+(2x-1)=8.$

Agora há uma equação com uma incógnita:

$3x-1=8\Rightarrow3x=9\Rightarrow x=3.$

Volte a uma das equações:

$y=2(3)-1=5.$

Logo, a solução é $(3,5)$ . Verificação: $5=2\cdot3-1$ e $3+5=8$ .

Roteiro da substituição

Isole uma incógnita em uma das equações.
Substitua a expressão obtida na outra equação.
Resolva a equação de uma incógnita.
Substitua o valor encontrado para determinar a segunda.
Escreva o par ordenado e confira nas duas equações.

Use parênteses ao substituir expressões negativas ou compostas. Se $x=7-2y$ , então $3x$ se torna $3(7-2y)$ , não $21-2y$ .

Método da adição ou eliminação

O objetivo é somar as equações de forma que uma incógnita desapareça. Isso é possível porque podemos somar igualdades membro a membro.

Resolva:

$\begin{cases}2x+3y=13\\3x-3y=2\end{cases}$

Os coeficientes de $y$ são opostos. Somando:

$5x+0y=15\Rightarrow x=3.$

Substituindo na primeira equação:

$2(3)+3y=13\Rightarrow3y=7\Rightarrow y=\frac73.$

A solução é $\left(3,\frac73\right)$ . Uma solução fracionária não é sinal de erro; a verificação decide.

Quando os coeficientes ainda não são opostos

Considere:

$\begin{cases}2x+y=7\\3x+2y=12\end{cases}$

Multiplique a primeira equação inteira por $-2$ :

$\begin{cases}-4x-2y=-14\\3x+2y=12\end{cases}$

Somando, $-x=-2$ , então $x=2$ . Na primeira equação original, $4+y=7$ , logo $y=3$ .

É obrigatório multiplicar todos os termos da equação. Alterar apenas um coeficiente muda a reta e, portanto, o sistema.

Qual método escolher

Comparação entre métodos gráfico, substituição e adição

Gráfico: prefira quando a interpretação geométrica é importante ou as retas são fáceis de traçar.
Substituição: costuma ser eficiente quando já aparece $x=$ ou $y=$ , ou algum coeficiente é 1 ou $-1$ .
Adição: tende a ser mais curta quando há coeficientes iguais, opostos ou com múltiplos simples.

Os métodos não competem: todos descrevem o mesmo conjunto-solução. Escolher bem reduz cálculos e oportunidades de erro.

Classificação pela eliminação

O desaparecimento das duas incógnitas revela casos especiais.

Contradição

$\begin{cases}2x+y=4\\4x+2y=11\end{cases}$

Multiplicando a primeira por $-2$ e somando à segunda:

$0x+0y=3.$

A igualdade $0=3$ é falsa. O sistema não possui solução; graficamente, as retas são paralelas distintas.

Identidade

$\begin{cases}2x+y=4\\4x+2y=8\end{cases}$

O mesmo procedimento produz $0=0$ . A segunda equação é o dobro da primeira, então as retas coincidem e há infinitas soluções.

Não conclua $(0,0)$ nesses casos. A expressão $0=0$ não determina um par; informa que uma equação não acrescentou uma condição independente.

Modelagem de problemas

Fluxo de leitura, definição das incógnitas, montagem, resolução e validação

Um procedimento seguro é:

identifique as duas quantidades desconhecidas;
defina claramente $x$ e $y$ , com unidades;
traduza cada condição em uma equação;
resolva pelo método mais conveniente;
verifique e interprete no contexto.

Ingressos

Em um evento foram vendidos 120 ingressos, entre inteiros a R $30 e meias a R$ 18. A arrecadação foi R $2.880. Seja$ x $o número de inteiros e$ y$ o de meias:

$\begin{cases}x+y=120\\30x+18y=2880\end{cases}$

Da primeira, $y=120-x$ . Substituindo:

$30x+18(120-x)=2880$

$12x=720\Rightarrow x=60,$

e $y=60$ . Conferindo: há 120 ingressos e $30\cdot60+18\cdot60=2880$ .

Duas compras

Três cadernos e duas canetas custam R $46; dois cadernos e três canetas custam R$ 39. Se $c$ e $p$ representam os preços:

$\begin{cases}3c+2p=46\\2c+3p=39\end{cases}$

Multiplique a primeira por 3 e a segunda por $-2$ :

$\begin{cases}9c+6p=138\\-4c-6p=-78\end{cases}$

Somando, $5c=60$ , então $c=12$ . Depois, $2(12)+3p=39$ , logo $p=5$ . Os valores são não negativos e satisfazem as duas compras.

Verificação e plausibilidade

Substitua o par nas duas equações originais. Em problemas, avalie também:

as unidades estão corretas?
quantidades que representam contagens são inteiras e não negativas?
preços, medidas e idades fazem sentido?
o par responde às duas condições, não apenas a uma?

Arredondar cedo pode fazer um par quase satisfazer as equações. Trabalhe com frações exatas quando possível e arredonde apenas a resposta contextual, se necessário.

Erros frequentes

Encontrar apenas $x$ e esquecer de calcular $y$ .
Escrever a resposta sem respeitar a ordem do par $(x,y)$ .
Substituir em apenas parte de uma expressão.
Multiplicar uma equação sem multiplicar todos os seus termos.
Somar termos que não são semelhantes.
Conferir o par em apenas uma equação.
Interpretar $0=0$ como solução $(0,0)$ .
Declarar que $0=c$ , com $c\ne0$ , possui solução.
Montar duas equações que expressam a mesma informação e esperar solução única.
Aceitar uma resposta algébrica incompatível com o contexto.

Síntese

A solução de um sistema satisfaz todas as equações simultaneamente.
Em um sistema linear 2 × 2, a solução é representada por um par ordenado.
Retas concorrentes indicam uma solução; paralelas, nenhuma; coincidentes, infinitas.
Substituição reduz o sistema ao trocar uma incógnita por uma expressão equivalente.
Adição combina equações para eliminar uma incógnita.
O formato do sistema orienta a escolha do método.
Toda solução deve ser verificada nas equações originais e interpretada no contexto.

Próximos passos

A trilha segue para Inequações, que representam desigualdades e exigem atenção especial ao sentido do sinal. Mais adiante, Função afim aprofundará a representação e a variação das retas.