Função exponencial e logaritmos

Crescimento aditivo e multiplicativo

Compare duas sequências iniciadas em 100:

Etapa	Soma 50	Multiplica por 1,5
0	100	100
1	150	150
2	200	225
3	250	337,5

Na primeira coluna, a diferença é constante: trata-se de comportamento afim. Na segunda, a razão entre termos consecutivos é constante: trata-se de comportamento exponencial.

“Crescer exponencialmente” não significa apenas crescer muito rápido. Significa que, para intervalos iguais de entrada, a saída é multiplicada por um mesmo fator. No início, esse crescimento pode até parecer lento.

A função exponencial

Um modelo exponencial básico é

$f(x)=A\cdot b^x,$

com $A\ne0$, $b>0$ e $b\ne1$.

• $A=f(0)$ é o valor inicial;
• $b$ é o fator multiplicativo por unidade de $x$;
• $x$ aparece no expoente.

As restrições da base têm motivo:

• $b=1$ produziria a função constante $f(x)=A$;
• $b=0$ não permitiria expoentes negativos e criaria problemas em $0^0$;
• bases negativas não definem uma função real para todo expoente real.

Em muitos modelos de quantidade, usa-se $A>0$. Se $A<0$, o gráfico é refletido em relação ao eixo horizontal e a imagem se torna negativa.

Crescimento e decaimento

Para $A>0$:

• se $b>1$, há crescimento exponencial;
• se $0<b<1$, há decaimento exponencial.

Em $f(x)=200\cdot1{,}08^x$, o fator 1,08 corresponde a crescimento de 8% por período:

$1+\frac{8}{100}=1{,}08.$

Em $g(x)=500\cdot0{,}7^x$, o fator 0,7 significa que 70% do valor permanece, ou seja, há redução de 30%:

$1-\frac{30}{100}=0{,}7.$

Um erro frequente é usar 0,30 como fator de redução de 30%. Isso faria restar apenas 30%, equivalente a uma queda de 70%. Revise Porcentagem se essa conversão ainda não estiver automática.

Gráfico da exponencial

Para $f(x)=b^x$, com $b>0$ e $b\ne1$:

• domínio: $\mathbb{R}$;
• imagem: $(0,+\infty)$;
• intercepto vertical: $(0,1)$;
• não há intercepto horizontal;
• a reta $y=0$ é assíntota horizontal.

A curva se aproxima do eixo $x$, mas não o toca: nenhuma potência de base positiva vale zero.

Se há um multiplicador positivo $A$, o intercepto vertical passa a ser $(0,A)$ e a imagem continua positiva. Somar uma constante, como em $A\cdot b^x+k$, desloca a assíntota para $y=k$.

Reconhecendo um modelo em uma tabela

Considere:

$x$	$f(x)$
0	3
1	6
2	12
3	24

Cada saída é o dobro da anterior, então $b=2$. Como $f(0)=3$, temos

$f(x)=3\cdot2^x.$

Se os passos em $x$ não forem unitários, ajuste o raciocínio. Se $x$ avança 2 unidades e a saída quadruplica, então

$b^2=4\Rightarrow b=2.$

Comparar razões só funciona diretamente quando os intervalos de entrada são iguais.

O que é logaritmo

O logaritmo é um expoente. Para $b>0$, $b\ne1$ e $x>0$:

$\log_b(x)=y\iff b^y=x.$

Exemplos:

$\log_2(8)=3,$

porque $2^3=8$.

$\log_{10}(0{,}01)=-2,$

porque $10^{-2}=0{,}01$.

$\log_9(3)=\frac12,$

porque $9^{1/2}=3$.

O resultado do logaritmo pode ser negativo ou fracionário. O argumento, porém, deve ser positivo no conjunto dos reais: não existem $\log_b(0)$ nem logaritmo real de número negativo.

Exponencial e logarítmica são inversas

As funções

$f(x)=b^x\quad\text{e}\quad f^{-1}(x)=\log_b(x)$

trocam entradas e saídas. Se $2^3=8$, então $\log_2(8)=3$.

Por isso, seus gráficos são reflexos em relação à reta $y=x$. Domínio e imagem também se trocam:

Função	Domínio	Imagem	Assíntota
$b^x$	$\mathbb{R}$	$(0,+\infty)$	$y=0$
$\log_b(x)$	$(0,+\infty)$	$\mathbb{R}$	$x=0$

Se $b>1$, ambas são crescentes. Se $0<b<1$, ambas são decrescentes.

Valores fundamentais

Para qualquer base válida:

$\log_b(1)=0,$

pois $b^0=1$; e

$\log_b(b)=1,$

pois $b^1=b$.

Também valem as identidades inversas:

$\log_b(b^x)=x$

e, para $x>0$,

$b^{\log_b(x)}=x.$

Essas igualdades não são truques: expressam que uma função desfaz a outra.

Propriedades dos logaritmos

Para $M>0$, $N>0$ e base válida:

$\log_b(MN)=\log_b(M)+\log_b(N),$

$\log_b\left(\frac{M}{N}\right)=\log_b(M)-\log_b(N),$

$\log_b(M^k)=k\log_b(M).$

As propriedades vêm das regras de Potenciação e radiciação. Se $M=b^p$ e $N=b^q$, então $MN=b^{p+q}$; logo, o expoente do produto é a soma dos expoentes.

Não existe propriedade semelhante para soma:

$\log_b(M+N)\ne\log_b(M)+\log_b(N).$

Por exemplo, $\log_{10}(10+90)=2$, enquanto $\log_{10}(10)+\log_{10}(90)$ não vale 2.

Logaritmos decimal e natural

Quando a base é 10, costuma-se escrever

$\log(x)=\log_{10}(x).$

Quando a base é o número $e\approx2{,}71828$, escreve-se

$\ln(x)=\log_e(x).$

Para calcular outra base em uma calculadora, usamos a mudança de base:

$\log_b(x)=\frac{\log(x)}{\log(b)}=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}.$

Numerador e denominador devem usar a mesma base.

Equações exponenciais com bases iguais

Se a função exponencial tem base válida, ela é injetiva. Assim,

$b^u=b^v\Rightarrow u=v.$

Exemplo:

$8^{x-1}=4^{x+1}.$

Escrevendo ambas na base 2:

$2^{3x-3}=2^{2x+2},$

$3x-3=2x+2\Rightarrow x=5.$

Igualar expoentes sem antes garantir bases iguais é incorreto.

Equações exponenciais com logaritmos

Quando não é possível obter uma base comum, aplique logaritmo nos dois lados. Para

$3^x=20,$

temos

$\log(3^x)=\log(20),$

$x\log(3)=\log(20),$

$x=\frac{\log(20)}{\log(3)}\approx2{,}727.$

A aproximação deve ser coerente: como $3^2=9$ e $3^3=27$, o expoente está entre 2 e 3.

Equações logarítmicas

Para resolver

$\log_2(x-1)=3,$

converta para a forma exponencial:

$x-1=2^3=8,$

$x=9.$

Verifique o domínio: $x-1>0$, portanto $x>1$, e a solução é válida.

Agora considere

$\log(x)+\log(x-9)=1.$

O domínio exige $x>9$. Pela propriedade do produto:

$\log[x(x-9)]=1,$

$x(x-9)=10,$

$x^2-9x-10=0.$

As raízes são 10 e $-1$, mas apenas $x=10$ respeita o domínio. Equações logarítmicas podem gerar candidatos inválidos; a verificação é obrigatória.

Modelagem de crescimento e decaimento

Uma cultura começa com 500 indivíduos e cresce 20% por hora:

$P(t)=500\cdot1{,}2^t.$

Após 4 horas:

$P(4)=500\cdot1{,}2^4=1036{,}8.$

Se a quantidade precisa ser inteira, o contexto deve orientar o arredondamento.

Em um decaimento com meia-vida de 6 horas, metade permanece a cada período:

$M(t)=M_0\left(\frac12\right)^{t/6}.$

Após 18 horas, passaram três meias-vidas:

$M(18)=M_0\left(\frac12\right)^3=\frac{M_0}{8}.$

Juros compostos também seguem variação multiplicativa, mas taxas equivalentes, capitalização e comparação de regimes serão desenvolvidas em Juros compostos, conteúdo próprio de Matemática Financeira.

Erros frequentes

• Confundir diferença constante com razão constante.
• Usar a porcentagem de perda como fator, em vez da parcela restante.
• Achar que toda função que cresce rapidamente é exponencial.
• Esquecer $b>0$ e $b\ne1$.
• Afirmar que a exponencial alcança zero por se aproximar do eixo.
• Interpretar logaritmo como divisão, e não como expoente.
• Aceitar argumento nulo ou negativo em logaritmo real.
• Distribuir logaritmo sobre soma ou subtração.
• Igualar expoentes de bases diferentes.
• Resolver a equação e não testar o domínio logarítmico.
• Arredondar valores intermediários cedo demais.

Síntese

• Exponencial significa fator multiplicativo constante em intervalos iguais.
• $f(x)=A\cdot b^x$ tem valor inicial $A$ e fator $b$.
• Para $A>0$, $b>1$ gera crescimento e $0<b<1$ gera decaimento.
• A exponencial tem domínio real, imagem positiva e assíntota horizontal.
• $\log_b(x)$ é o expoente que transforma $b$ em $x$.
• Exponencial e logaritmo são funções inversas.
• Produto vira soma, quociente vira diferença e potência vira multiplicação.
• Logaritmos permitem resolver equações em que a incógnita aparece no expoente.
• O domínio dos argumentos deve ser verificado em toda equação logarítmica.
• Modelos exigem interpretação do fator, das unidades e do período.

Próximos passos

A trilha segue para Sequências, PA e PG, conectando diferenças e razões constantes a termos discretos. Em Matemática Financeira, Juros compostos retomará a função exponencial em aplicações específicas.

Referências

• Base Nacional Comum Curricular — MEC
• Algebra and Trigonometry 2e: Exponential Functions — OpenStax
• Algebra and Trigonometry 2e: Graphs of Exponential Functions — OpenStax
• Algebra and Trigonometry 2e: Logarithmic Functions — OpenStax