Equação do segundo grau: métodos e fórmula resolutiva

Blocos algébricos formam um quadrado completo e se ramificam em duas soluções

Uma equação do segundo grau, ou quadrática, pode ser escrita como

$ax^2+bx+c=0,$

com $a\ne0$ . Resolver é encontrar todos os valores de $x$ que tornam a igualdade verdadeira.

Ideia central: fatoração, completamento de quadrados e fórmula resolutiva não são receitas desconectadas; são caminhos para revelar as raízes da mesma estrutura quadrática.

Coeficientes e forma padrão

Em $2x^2-5x-3=0$ , temos $a=2$ , $b=-5$ e $c=-3$ . Os sinais pertencem aos coeficientes. Antes de escolher um método, reúna todos os termos em um membro e deixe zero no outro.

Se $a=0$ , desaparece o termo quadrático e a equação passa a ser de primeiro grau. Retome Equação do primeiro grau quando necessário.

Equações incompletas

Quando $b=0$ , isole o quadrado:

$3x^2-27=0\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm3.$

O símbolo $\pm$ é indispensável: tanto 3 quanto $-3$ têm quadrado 9.

Quando $c=0$ , coloque $x$ em evidência:

$2x^2-10x=0\Rightarrow2x(x-5)=0.$

Pelo produto nulo, $x=0$ ou $x=5$ .

Resolução por fatoração

Escreva primeiro a equação igual a zero:

$x^2+2x-8=0.$

Usando Produtos notáveis e fatoração:

$(x+4)(x-2)=0.$

Um produto é zero quando ao menos um fator é zero. Logo, $x=-4$ ou $x=2$ .

Fatoração é rápida quando o padrão é visível, mas não deve ser forçada quando produz tentativas longas ou raízes irracionais.

Completar quadrados

Para transformar $x^2+bx$ em quadrado perfeito, adicione $(b/2)^2$ .

Sequência transforma x quadrado mais seis x em um quadrado perfeito

Resolva $x^2+6x=7$ . Metade de 6 é 3; seu quadrado é 9. Adicione 9 aos dois membros:

$x^2+6x+9=16$

$(x+3)^2=16.$

Então $x+3=\pm4$ , produzindo $x=1$ ou $x=-7$ .

Quando $a\ne1$ , divida primeiro a equação pelo coeficiente de $x^2$ . O mesmo valor precisa ser adicionado aos dois membros para preservar a igualdade.

De onde vem a fórmula resolutiva

Partindo de $ax^2+bx+c=0$ , divida por $a$ e complete o quadrado:

$x^2+\frac ba x=-\frac ca,$

$x^2+\frac ba x+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2},$

$\left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$

Extraindo as raízes e isolando $x$ :

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

No Brasil, ela é frequentemente chamada de fórmula de Bhaskara; “fórmula resolutiva da equação quadrática” descreve melhor seu papel e evita tratá-la como regra sem fundamento.

Aplicação da fórmula

Resolva $2x^2-5x-3=0$ . Identifique $a=2$ , $b=-5$ e $c=-3$ :

$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4(2)(-3)=49.$

$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2(2)}=\frac{5\pm7}{4}.$

Portanto, $x=3$ ou $x=-\frac12$ .

Use parênteses ao substituir coeficientes negativos. Escrever $-5^2$ no lugar de $(-5)^2$ muda o resultado.

O discriminante

A expressão $\Delta=b^2-4ac$ controla o que aparece dentro da raiz.

Discriminante positivo, nulo e negativo relacionado a duas, uma ou nenhuma raiz real

Se $\Delta>0$ , existem duas raízes reais distintas.
Se $\Delta=0$ , existe uma raiz real dupla, $x=-b/(2a)$ .
Se $\Delta<0$ , não existem raízes reais.

No conjunto dos números complexos, o caso negativo também possui soluções, mas esse aprofundamento fica fora do recorte desta aula.

Como escolher o método

Mapa orienta a escolha entre fatoração, raiz quadrada e fórmula geral

Coloque a equação na forma padrão.
Retire fator comum, se houver.
Se houver produto evidente, use fatoração.
Se aparecer $x^2=k$ ou $(x-h)^2=k$ , use a propriedade da raiz.
Use completamento de quadrados para compreender ou transformar a estrutura.
A fórmula resolutiva funciona para toda equação quadrática.
Verifique cada raiz na equação original.

Relações entre raízes e coeficientes

Se as raízes são $x_1$ e $x_2$ :

$x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca.$

Em $x^2-7x+12=0$ , soma 7 e produto 12 sugerem 3 e 4. Essas relações ajudam a fatorar e a conferir respostas, mas não garantem, sozinhas, que um cálculo intermediário esteja correto.

Modelagem por área

Um retângulo tem comprimento 3 m maior que a largura e área de 40 m². Se a largura é $x$ :

$x(x+3)=40\Rightarrow x^2+3x-40=0.$

Fatorando:

$(x+8)(x-5)=0,$

logo $x=-8$ ou $x=5$ . Como medida não pode ser negativa, a largura é 5 m e o comprimento, 8 m. A álgebra fornece duas raízes; o contexto seleciona a admissível.

Verificação

Substitua cada raiz na equação original. Para $2x^2-5x-3=0$ :

$x=3$ : $18-15-3=0$ ;
$x=-1/2$ : $2(1/4)+5/2-3=0$ .

Em problemas, confira também unidade, domínio e significado. Uma raiz rejeitada pelo contexto não é erro algébrico.

Erros frequentes

Aplicar a fórmula antes de escrever a equação igual a zero.
Trocar sinais de $a$ , $b$ ou $c$ .
Esquecer o $\pm$ ao extrair raiz quadrada.
Usar produto nulo quando a expressão não está igual a zero.
Completar o quadrado em apenas um membro.
Escrever o denominador como $2$ em vez de $2a$ .
Calcular $-b^2$ no lugar de $(-b)^2$ .
Declarar duas raízes reais quando $\Delta=0$ .
Aceitar uma medida negativa no contexto.
Não verificar as soluções.

Síntese

A forma padrão é $ax^2+bx+c=0$ , com $a\ne0$ .
Fatoração usa a propriedade do produto nulo.
Quadrados isolados exigem as possibilidades positiva e negativa.
Completar quadrados fundamenta a fórmula geral.
O discriminante classifica a quantidade de raízes reais.
O método deve ser escolhido pela estrutura da equação.
Raízes precisam ser verificadas e interpretadas.

Próximos passos

A trilha segue para Funções: conceitos fundamentais. Posteriormente, Função quadrática retomará raízes como interceptos e estudará gráfico, vértice e variação.