Divisibilidade, números primos, MMC e MDC

Múltiplos, divisores e fatores

Se existem inteiros $a$, $b$ e $k$ tais que

$a=b\cdot k,$

então $a$ é múltiplo de $b$, enquanto $b$ é divisor ou fator de $a$. Também dizemos que $a$ é divisível por $b$ ou que $b\mid a$.

Como $24=6\cdot4$:

• 24 é múltiplo de 6 e de 4;
• 6 e 4 são divisores de 24;
• $24\div6=4$ e $24\div4=6$, sem resto;
• $(4,6)$ é um par de fatores de 24.

Os múltiplos positivos de 6 são $6,12,18,24,\ldots$ e não terminam. Já os divisores positivos de 24 formam um conjunto finito: $1,2,3,4,6,8,12,24$.

O zero é múltiplo de todo inteiro não nulo, pois $0=n\cdot0$. Todo inteiro não nulo divide zero. Contudo, zero não pode ser divisor, porque divisão por zero não é definida.

Retome Números e operações se precisar revisar divisão exata, resto ou propriedades.

Divisão euclidiana e resto

Para um número natural $a$ e um divisor positivo $b$, existem quociente $q$ e resto $r$ tais que:

$a=bq+r,\qquad 0\le r<b.$

Por exemplo, $157=12\cdot13+1$. Portanto, o quociente de $157\div12$ é 13 e o resto é 1. Um número é divisível por outro exatamente quando $r=0$.

O resto também permite reconhecer padrões. Números pares deixam resto 0 na divisão por 2; ímpares deixam resto 1. Horários, ciclos e alternâncias frequentemente são problemas de restos, mesmo quando a palavra “divisibilidade” não aparece.

Critérios de divisibilidade

Critérios permitem decidir se a divisão será exata sem executar o algoritmo completo.

Divisor	Critério
2	o último algarismo é 0, 2, 4, 6 ou 8
3	a soma dos algarismos é divisível por 3
4	o número formado pelos dois últimos algarismos é divisível por 4
5	o último algarismo é 0 ou 5
6	o número é divisível simultaneamente por 2 e por 3
8	o número formado pelos três últimos algarismos é divisível por 8
9	a soma dos algarismos é divisível por 9
10	o último algarismo é 0

Exemplo: quais critérios 7.560 satisfaz?

• por 2: termina em 0;
• por 3: $7+5+6+0=18$, múltiplo de 3;
• por 4: 60 é divisível por 4;
• por 5 e 10: termina em 0;
• por 6: satisfaz os critérios de 2 e 3;
• por 8: 560 é divisível por 8;
• por 9: a soma 18 é múltipla de 9.

Logo, 7.560 é divisível por todos os números listados na tabela.

Por que somar algarismos funciona para 3 e 9?

No sistema decimal, $10$ deixa resto 1 quando dividido por 3 ou 9. O mesmo ocorre com $10^2,10^3,\ldots$. Assim, um número e a soma de seus algarismos deixam o mesmo resto nesses divisores. O critério é uma consequência do sistema de numeração, não uma coincidência.

Números primos e compostos

Um número natural maior que 1 é primo quando possui exatamente dois divisores positivos: 1 e ele próprio. Se possui mais de dois, é composto.

• primos iniciais: $2,3,5,7,11,13,17,19,\ldots$;
• compostos: $4,6,8,9,10,12,\ldots$;
• 1 não é primo nem composto;
• 2 é o único primo par.

Para testar se $n$ é primo, basta procurar divisores primos até $\sqrt n$. Se $n=ab$ e ambos fossem maiores que $\sqrt n$, o produto seria maior que $n$. Logo, um número composto necessariamente possui algum fator não superior à raiz.

Exemplo: 97 é primo?

Como $\sqrt{97}<10$, teste os primos 2, 3, 5 e 7. O número não é par, a soma dos algarismos é 16, não termina em 0 ou 5 e $97\div7$ não é inteiro. Portanto, 97 é primo.

Decomposição em fatores primos

Todo natural composto pode ser escrito como produto de primos. Essa decomposição é única, exceto pela ordem dos fatores.

Para 360:

$$360=36\cdot10=(2^2\cdot3^2)(2\cdot5)=2^3\cdot3^2\cdot5.$$

Uma árvore pode começar por pares diferentes, como $36\cdot10$ ou $45\cdot8$, mas terminará com os mesmos fatores primos e expoentes.

Aqui “fatoração” significa decompor números naturais. Fatorar expressões com variáveis será assunto de Produtos notáveis e fatoração, na unidade de Álgebra.

Mínimo múltiplo comum — MMC

O MMC de números positivos é o menor múltiplo positivo comum a todos eles. Ele aparece quando ciclos precisam coincidir novamente, quando buscamos um primeiro tamanho comum ou quando transformamos frações em denominadores comuns.

Pela fatoração, reúna todos os fatores primos que aparecem, usando o maior expoente de cada um.

Calcule $\operatorname{mmc}(12,18)$:

$12=2^2\cdot3,\qquad18=2\cdot3^2.$

Logo:

$\operatorname{mmc}(12,18)=2^2\cdot3^2=36.$

36 é o primeiro valor positivo presente nas duas listas: $12,24,36,\ldots$ e $18,36,\ldots$.

Problema de ciclos

Duas rotinas são executadas a cada 12 e 18 dias e ocorreram juntas hoje. Voltarão a coincidir após $\operatorname{mmc}(12,18)=36$ dias. O problema procura a primeira coincidência futura, portanto pede um múltiplo comum mínimo.

Máximo divisor comum — MDC

O MDC é o maior número positivo que divide exatamente todos os valores considerados. Ele aparece ao formar o maior tamanho possível de grupos iguais, sem sobra, ou ao simplificar uma razão ou fração.

Pela fatoração, use apenas fatores presentes em todos os números, com o menor expoente comum.

Calcule $\operatorname{mdc}(48,60)$:

$48=2^4\cdot3,\qquad60=2^2\cdot3\cdot5.$

Os fatores comuns com menores expoentes são $2^2$ e $3$:

$\operatorname{mdc}(48,60)=2^2\cdot3=12.$

Problema de agrupamento

Há 48 itens azuis e 60 itens laranja. Deseja-se montar o maior número possível em cada grupo, mantendo cores separadas e sem sobras. Cada grupo pode conter 12 itens: serão 4 grupos azuis e 5 laranja.

Como escolher entre MMC e MDC

Use a relação pedida, não uma palavra-chave isolada:

• procure MMC quando deseja o primeiro múltiplo compartilhado: coincidência de ciclos, menor quantidade que atende a diferentes agrupamentos ou denominador comum;
• procure MDC quando deseja um divisor compartilhado: maior medida ou capacidade que divide todas as quantidades, maior grupo igual ou simplificação máxima.

Faça uma checagem de natureza:

• o MMC deve ser múltiplo de cada número e não pode ser menor que o maior deles;
• o MDC deve dividir cada número e não pode ser maior que o menor deles.

Para dois inteiros positivos, vale ainda:

$\operatorname{mmc}(a,b)\cdot\operatorname{mdc}(a,b)=a\cdot b.$

Essa relação é uma boa conferência, não um substituto automático para interpretar o problema.

Exemplo integrado

Uma escola possui 84 cadernos e 126 canetas. Deseja montar kits iguais, sem sobras, usando a maior quantidade possível de kits.

O número de kits precisa dividir 84 e 126; buscamos, portanto, o maior divisor comum:

$84=2^2\cdot3\cdot7,\qquad126=2\cdot3^2\cdot7.$

$\operatorname{mdc}(84,126)=2\cdot3\cdot7=42.$

Serão 42 kits, cada um com $84\div42=2$ cadernos e $126\div42=3$ canetas. A interpretação das unidades confirma a resposta.

Erros frequentes

Afirmar que 1 é primo

Primos têm exatamente dois divisores positivos. O número 1 possui apenas um.

Confundir múltiplos e divisores

Múltiplos de um número são infinitos; divisores positivos de um natural não nulo são finitos.

Aplicar o critério de 6 parcialmente

Ser divisível por 2 ou por 3 não basta. O número precisa satisfazer ambos.

Usar maior expoente no MDC

No MMC entram todos os primos com maiores expoentes; no MDC, apenas os comuns com menores expoentes.

Escolher pelo vocabulário

“Maior” não significa automaticamente MDC: “a maior das periodicidades” pode não ser o que a pergunta procura. Modele a relação.

Esquecer o contexto

Em ciclos, pergunte se o instante inicial conta. Em agrupamentos, confira se grupos, itens por grupo e tipos podem ou não ser misturados.

Como aparece em provas

Concursos e vestibulares costumam combinar o tema com calendários, escalas de trabalho, engrenagens, embalagens, ladrilhamento, distribuição de materiais e simplificação de razões. A prova pode exigir:

• completar um algarismo para satisfazer um critério;
• contar divisores a partir da fatoração;
• reconhecer um primo;
• encontrar coincidências periódicas com MMC;
• maximizar grupos ou medidas com MDC;
• interpretar restos de divisão.

Se $n=p^a q^b$, com primos distintos, o número de divisores positivos é $(a+1)(b+1)$, pois o expoente de $p$ pode variar de 0 a $a$ e o de $q$, de 0 a $b$. Para $360=2^3\cdot3^2\cdot5^1$, são $(3+1)(2+1)(1+1)=24$ divisores.

Síntese para revisão

• $b\mid a$ quando $a=bk$ para algum inteiro $k$;
• divisibilidade equivale a resto zero;
• critérios exploram regularidades do sistema decimal;
• primo tem exatamente dois divisores positivos; 1 não é primo;
• decomposição prima é única, salvo a ordem;
• MMC usa todos os fatores primos com maiores expoentes;
• MDC usa os fatores comuns com menores expoentes;
• MMC modela coincidências e mínimos comuns; MDC, maiores divisões exatas;
• sinal, unidade e relação pedida validam a resposta.

Próximos passos

O conteúdo de Frações reutilizará divisores, múltiplos e denominadores comuns. Razão e proporção empregará simplificações pelo MDC. Esses links serão ativados quando as páginas estiverem publicadas.

Referências

• Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular.
• INEP. Matriz de Referência do Enem.
• OpenStax. Prealgebra 2e — Find Multiples and Factors. Licença CC BY 4.0.
• OpenStax. Prealgebra 2e — Prime Factorization and the Least Common Multiple. Licença CC BY 4.0.