Função afim: gráfico, coeficientes e exercícios

Entradas igualmente espaçadas produzem saídas alinhadas com aumentos constantes

Uma assinatura de aplicativo pode cobrar R $18 de mensalidade mais R$ 4 por serviço utilizado. Se $x$ é a quantidade de serviços, o custo é

$C(x)=4x+18.$

Esse modelo possui duas informações: R $18 são o valor inicial** e **R$ 4 são a variação a cada unidade. Essa combinação é a essência da função afim.

Ideia central: uma função afim tem taxa de variação constante e pode ser escrita como $f(x)=ax+b$ .

O que é função afim

Uma função afim real é escrita na forma

$f(x)=ax+b,$

em que $a$ e $b$ são números reais.

$a$ é o coeficiente angular ou taxa de variação;
$b$ é o coeficiente linear, termo constante ou valor inicial.

No uso escolar brasileiro, a forma $ax+b$ é chamada função afim. Quando $b=0$ , temos $f(x)=ax$ , caso particular frequentemente chamado função linear. Algumas referências em inglês chamam toda função $mx+b$ de linear function; reconhecer essa diferença de terminologia evita confusão.

Se o objetivo é estudar uma reta inclinada e seu zero único, considera-se $a\ne0$ . Se $a=0$ , a função é constante: $f(x)=b$ .

O papel de cada coeficiente

Em $f(x)=2x+3$ , temos $a=2$ e $b=3$ .

O termo $b$ aparece imediatamente ao calcular $f(0)$ :

$f(0)=a\cdot0+b=b.$

Logo, o gráfico encontra o eixo vertical no ponto $(0,b)$ . Já $a$ informa quanto a saída muda quando a entrada aumenta uma unidade.

Gráfico mostra o coeficiente b no eixo vertical e o coeficiente a como inclinação da reta

Para $f(x)=2x+3$ , aumentar $x$ em 1 aumenta $f(x)$ em 2:

$x$	$f(x)$
0	3
1	5
2	7

O coeficiente $b$ desloca a reta verticalmente, mas não altera sua inclinação. Funções como $2x+1$ e $2x-4$ têm a mesma taxa de variação e, portanto, retas paralelas.

Taxa de variação

Dados dois pontos distintos $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ da reta, calculamos

$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{\Delta y}{\Delta x},\qquad x_1\ne x_2.$

Considere os pontos $(2,7)$ e $(5,16)$ :

$a=\frac{16-7}{5-2}=\frac93=3.$

Isso significa que, para cada aumento de uma unidade em $x$ , a saída cresce 3 unidades. Se a entrada aumentar 4 unidades, a saída aumentará $3\cdot4=12$ .

Não se deve calcular $y/x$ para encontrar a taxa, exceto em situações particulares em que a reta passa pela origem. A taxa é uma razão entre variações, conteúdo relacionado a Razão e proporção.

Crescente, decrescente ou constante

O sinal de $a$ determina o comportamento:

se $a>0$ , a função é crescente;
se $a<0$ , a função é decrescente;
se $a=0$ , a função é constante.

Três retas com coeficiente positivo, negativo e nulo representam função crescente, decrescente e constante

Em $f(x)=-4x+10$ , o coeficiente $-4$ indica que a saída diminui 4 unidades sempre que $x$ aumenta 1. O sinal negativo descreve o sentido da variação; o módulo 4 descreve sua intensidade por unidade.

Como construir o gráfico

O gráfico de uma função afim é uma reta. Dois pontos distintos bastam para determiná-la, embora um terceiro ponto seja útil para conferir os cálculos.

Para desenhar $f(x)=2x-4$ :

calcule $f(0)=-4$ e marque $(0,-4)$ ;
encontre o zero: $2x-4=0$ , então $x=2$ e marque $(2,0)$ ;
trace a reta que passa pelos dois pontos.

Também é possível partir de $(0,b)$ e usar a taxa $a=\Delta y/\Delta x$ . Como $a=2=2/1$ , avançamos 1 unidade à direita e 2 para cima.

Uma reta vertical, como $x=3$ , não é gráfico de uma função de $x$ : para a mesma entrada haveria várias saídas. Essa conclusão retoma o teste da reta vertical.

Zero e interceptos

O zero da função é a entrada que produz saída zero. Para $a\ne0$ :

$ax+b=0\Rightarrow x=-\frac ba.$

Em $f(x)=3x-12$ :

$x=-\frac{-12}{3}=4.$

Assim, $(4,0)$ é o intercepto no eixo $x$ . O intercepto no eixo $y$ é $(0,-12)$ .

Se $a=0$ e $b\ne0$ , a função constante não possui zero. Se $a=b=0$ , toda entrada é zero da função. Esses casos impedem aplicar mecanicamente $-b/a$ , pois haveria divisão por zero.

Estudo do sinal

Para uma função afim não constante, o zero divide a reta real em dois intervalos. Considere $f(x)=2x-6$ , cujo zero é 3.

se $x<3$ , então $f(x)<0$ ;
se $x=3$ , então $f(x)=0$ ;
se $x>3$ , então $f(x)>0$ .

Como $a>0$ , a função passa de negativa para positiva. Em uma função decrescente, ocorre o contrário. Esse raciocínio conecta gráfico e Inequações.

Exemplo:

$-2x+8\ge0.$

O zero é 4 e a função é decrescente. Portanto, os valores não negativos ocorrem para $x\le4$ .

Encontrando a lei por dois pontos

Suponha que uma função afim passe por $(1,5)$ e $(4,14)$ .

Primeiro, determine a taxa:

$a=\frac{14-5}{4-1}=3.$

Depois, substitua um ponto em $y=ax+b$ :

$5=3\cdot1+b\Rightarrow b=2.$

Logo,

$f(x)=3x+2.$

Fluxo calcula a taxa de variação entre dois pontos e depois encontra o termo independente

Verifique com o outro ponto: $f(4)=3\cdot4+2=14$ . Dois pontos com a mesma coordenada $x$ não determinam uma função afim de $x$ , pois formariam uma reta vertical.

Encontrando a lei por uma tabela

Uma tabela representa uma função afim quando a razão entre as variações é constante.

$x$	$f(x)$
1	7
3	13
6	22

Do primeiro para o segundo par:

$\frac{13-7}{3-1}=3.$

Do segundo para o terceiro:

$\frac{22-13}{6-3}=3.$

A taxa é constante. Usando $(1,7)$ , obtemos $7=3+b$ , então $b=4$ e $f(x)=3x+4$ .

Não compare apenas diferenças nas saídas se os passos em $x$ forem diferentes. O critério correto é comparar $\Delta y/\Delta x$ .

Modelagem: parcela fixa e parcela variável

Uma corrida custa R $6 de bandeirada e R$ 2,50 por quilômetro. Para $d$ quilômetros:

$C(d)=2{,}5d+6.$

$2{,}5$ é o preço por quilômetro, em R$/km;
$6$ é o custo quando $d=0$ , em reais;
o domínio contextual exige $d\ge0$ .

Para 8 km:

$C(8)=2{,}5\cdot8+6=26.$

Se há um orçamento de R$ 31, resolvemos

$2{,}5d+6=31\Rightarrow d=10.$

A unidade de $a$ é sempre “unidade da saída por unidade da entrada”. Interpretar unidades ajuda a detectar modelos e respostas incoerentes.

Proporcionalidade e função afim

Em uma relação diretamente proporcional, dobrar a entrada dobra a saída. Isso ocorre em $f(x)=ax$ , pois $b=0$ e o gráfico passa pela origem.

Já $f(x)=ax+b$ , com $b\ne0$ , possui variação constante, mas não representa proporcionalidade direta. Por exemplo, uma tarifa com taxa fixa não dobra necessariamente quando a distância dobra.

Essa distinção é frequente em provas: toda função linear $f(x)=ax$ é afim, mas nem toda função afim representa grandezas diretamente proporcionais.

Domínio, imagem e restrições do modelo

Se $a\ne0$ e o domínio é $\mathbb{R}$ , a imagem também é $\mathbb{R}$ . A reta se prolonga indefinidamente nas duas direções.

Em contextos reais, porém, o domínio pode ser restrito. Para uma quantidade de ingressos, $x$ pode precisar ser inteiro e não negativo. A parte relevante do gráfico será formada por pontos isolados, não pela reta inteira. Consulte Funções: conceitos fundamentais para revisar essa diferença.

Erros frequentes

Trocar os papéis de $a$ e $b$ .
Calcular a taxa como $y/x$ em vez de $\Delta y/\Delta x$ .
Ignorar que as unidades da taxa são saída por entrada.
Afirmar que $b$ é sempre uma cobrança fixa; esse é apenas um possível significado contextual.
Confundir $b$ com o zero $-b/a$ .
Dividir por $a$ sem verificar se $a=0$ .
Comparar diferenças de saída quando os intervalos de entrada não são iguais.
Supor proporcionalidade direta quando $b\ne0$ .
Desenhar uma curva para uma taxa constante.
Estender o modelo para valores que o contexto não admite.

Síntese

A função afim é escrita como $f(x)=ax+b$ .
$a$ representa a taxa de variação constante; $b=f(0)$ representa o valor inicial.
O gráfico é uma reta e pode ser construído com dois pontos distintos.
O sinal de $a$ determina crescimento, decrescimento ou constância.
Para $a\ne0$ , o zero é $x=-b/a$ .
Dois pontos permitem calcular primeiro $a$ e depois $b$ .
Uma tabela é afim quando $\Delta y/\Delta x$ permanece constante.
$f(x)=ax$ representa proporcionalidade direta; $ax+b$ , com $b\ne0$ , não.
Modelos devem declarar unidades e restrições de domínio.

Próximos passos

A trilha segue para Função quadrática, cujo gráfico é uma parábola e cuja taxa de variação deixa de ser constante. Sistemas de equações também reutiliza retas para interpretar pontos de interseção.